Sendo A e B matrizes quadradas do mesmo tipo e inversíveis, temos que:
a)
;
b)
;
c)
;
d) A inversa clássica de uma matriz, se existir, é única.
Se A e B são matrizes quadradas inversíveis e de mesma ordem n, prove que:
as propriedades (a), (b) e (c);
a)
b)
c)
d) A inversa clássica de uma matriz, se existir, é única.
Se A e B são matrizes quadradas inversíveis e de mesma ordem n, prove que:
as propriedades (a), (b) e (c);
Passo 1
O enunciado diz que
e
são matrizes quadradas invertíveis de mesma ordem
e pede para provar três propriedades clássicas da inversa de matrizes:
a)
b)
c)
b)
c)
Vamos usar sempre a definição de inversa, ou seja, se
é invertível então
onde
é a matriz identidade de ordem
.
Passo 2
Prova de (a):
Pela definição de inversa temos
Pela definição de inversa temos
Isso mostra que
é simultaneamente inversa à esquerda e à direita de
. Como a inversa, quando existe, é única, concluímos
Passo 3
Prova de (b):
Começamos de e aplicamos a transposição em ambos os lados:
Começamos de
Sabemos que
e que a transposição inverte a ordem do produto, isto é,
Logo
De forma análoga, transpondo
vem
Portanto
é inversa de
e, pela unicidade da inversa,
Passo 4
Prova de (c):
Usamos a mesma estratégia de verificar que é inversa de
. Primeiro
Usamos a mesma estratégia de verificar que
E do outro lado
Assim
é inversa de
e, pela unicidade,
Resposta
Proprietários (a), (b) e (c) foram demonstradas.