Sendo A e B matrizes quadradas do mesmo tipo e inversíveis, temos que:
a) (A^-1)^-1=A;
b) (A^-1)^prime=(A^prime)^-1;
c) (A B)^-1=B^-1 A^-1;
d) A inversa clássica de uma matriz, se existir, é única.
Se A e B são matrizes quadradas inversíveis e de mesma ordem n, prove que:
as propriedades (a), (b) e (c);

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes quadradas invertíveis de mesma ordem n e pede para provar três propriedades clássicas da inversa de matrizes:
a) l(A^-1r)^-1=A
b) l(A^-1r)^prime=l(A^primer)^-1
c) (AB)^-1=B^-1A^-1
Vamos usar sempre a definição de inversa, ou seja, se M é invertível então
M,M^-1=M^-1M=I,
onde I é a matriz identidade de ordem n.

Passo 2

Prova de (a): l(A^-1r)^-1=A
Pela definição de inversa temos
A,A^-1=I e A^-1A=I
Isso mostra que A é simultaneamente inversa à esquerda e à direita de A^-1. Como a inversa, quando existe, é única, concluímos
l(A^-1r)^-1=A

Passo 3

Prova de (b): l(A^-1r)^prime=l(A^primer)^-1
Começamos de A,A^-1=I e aplicamos a transposição em ambos os lados:
l(A,A^-1r)^prime=I^prime
Sabemos que I^prime=I e que a transposição inverte a ordem do produto, isto é,
l(A,A^-1r)^prime =(A^-1)^prime,A^prime
Logo
(A^-1)^prime,A^prime=I
De forma análoga, transpondo A^-1A=I vem
A^prime,(A^-1)^prime=I
Portanto (A^-1)^prime é inversa de A^prime e, pela unicidade da inversa,
l(A^-1r)^prime=l(A^primer)^-1

Passo 4

Prova de (c): (AB)^-1=B^-1A^-1
Usamos a mesma estratégia de verificar que B^-1A^-1 é inversa de AB. Primeiro
(AB),(B^-1A^-1) = A,(B,B^-1),A^-1 = A,I,A^-1 = I
E do outro lado
(B^-1A^-1),(AB) = B^-1,(A^-1A),B = B^-1,I,B = I
Assim B^-1A^-1 é inversa de AB e, pela unicidade,
(AB)^-1=B^-1A^-1

Resposta

Proprietários (a), (b) e (c) foram demonstradas.

Exercícios relacionados