Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, simétricas e comutativas, justifique se:
(A-B) é simétrica.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A e B são matrizes quadradas da mesma ordem.
  • A e B são simétricas, isto é, vale A^{T}=A e B^{T}=B.
  • A e B comutam, isto é, vale AB=BA.
    A pergunta é: justificar se a matriz A-B é simétrica.

Passo 2

Vamos recordar (e entender) uma propriedade básica da transposição que usaremos: a transposição é uma operação linear. Em palavras simples, isso significa que para quaisquer matrizes X e Y da mesma dimensão e qualquer escalar c vale
(X+Y)^{T}=X^{T}+Y^{T}, \qquad (cX)^{T}=c\,X^{T}.
Dessa propriedade segue imediatamente a regra para diferença:
(X-Y)^{T}=X^{T}-Y^{T}.
Explicando por que isso é verdade: se X=(x_{ij}) então X^{T}=(x_{ji}). Somar ou subtrair matrizes faz isso elemento a elemento, e trocar índices i\leftrightarrow j comuta com a soma/subtração; por isso a transposição distribui sobre a soma e a subtração.

Passo 3

Aplique a propriedade anterior à matriz A-B. Usando a linearidade da transposição temos
(A-B)^{T}=A^{T}-B^{T}.

Passo 4

Agora use a hipótese de que A e B são simétricas, ou seja A^{T}=A e B^{T}=B. Substituindo na igualdade do passo anterior obtemos
(A-B)^{T}=A-B.
Pelo próprio definição, uma matriz M é simétrica quando M^{T}=M. Portanto a igualdade acima mostra exatamente que A-B é simétrica.

Passo 5

Comentário importante sobre a hipoteses de comutatividade: a propriedade AB=BA não foi usada em nenhuma etapa do raciocínio, porque a simetria de A-B decorre apenas da linearidade da transposição e da simetria de A e B. Em outras palavras, mesmo que A e B não comutem, a diferença continua simétrica. Por exemplo, considere
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
Ambas são simétricas, mas AB\neq BA. Ainda assim
A-B=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix},
que é simétrica (veja que (A-B)^{T}=A-B). Isso reforça que a comutatividade não é necessária para o resultado.]

Passo 6

Conclusão clara e direta: a diferença de duas matrizes simétricas é sempre simétrica, independentemente de comutarem ou não. Boa! Esse tipo de argumento é curtinho e direto — bom para prova. Se quiser, posso mostrar propriedades análogas (por exemplo soma de simétricas é simétrica, produto em geral não é) com exemplos rápidos.

Resposta

Sim, A-B é simétrica.

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