Se
e
são matrizes quadradas de mesma ordem, simétricas e comutativas, justifique se:
é simétrica.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
-
e são matrizes quadradas da mesma ordem. -
e são simétricas, isto é, vale e . -
e comutam, isto é, vale .
A pergunta é: justificar se a matrizé simétrica.
Passo 2
Vamos recordar (e entender) uma propriedade básica da transposição que usaremos: a transposição é uma operação linear. Em palavras simples, isso significa que para quaisquer matrizes
e
da mesma dimensão e qualquer escalar
vale
Dessa propriedade segue imediatamente a regra para diferença:
Explicando por que isso é verdade: se
então
. Somar ou subtrair matrizes faz isso elemento a elemento, e trocar índices
comuta com a soma/subtração; por isso a transposição distribui sobre a soma e a subtração.
Passo 3
Aplique a propriedade anterior à matriz
. Usando a linearidade da transposição temos
Passo 4
Agora use a hipótese de que
e
são simétricas, ou seja
e
. Substituindo na igualdade do passo anterior obtemos
Pelo próprio definição, uma matriz
é simétrica quando
. Portanto a igualdade acima mostra exatamente que
é simétrica.
Passo 5
Comentário importante sobre a hipoteses de comutatividade: a propriedade
não foi usada em nenhuma etapa do raciocínio, porque a simetria de
decorre apenas da linearidade da transposição e da simetria de
e
. Em outras palavras, mesmo que
e
não comutem, a diferença continua simétrica. Por exemplo, considere
Ambas são simétricas, mas
. Ainda assim
que é simétrica (veja que
). Isso reforça que a comutatividade não é necessária para o resultado.]
Passo 6
Conclusão clara e direta: a diferença de duas matrizes simétricas é sempre simétrica, independentemente de comutarem ou não. Boa! Esse tipo de argumento é curtinho e direto — bom para prova. Se quiser, posso mostrar propriedades análogas (por exemplo soma de simétricas é simétrica, produto em geral não é) com exemplos rápidos.
Resposta
Sim,
é simétrica.