Questão 9 (AFA-95). Dadas as matrizes A=\left(a_{i j}\right)_{8 \times 3} e B=\left(b_{i j}\right)_{3 \times 7}, onde a_{i j}=2 i-j e b_{i j}=i \cdot j, qual é o elemento c_{56} da matriz C=\left(c_{i j}\right)=A \cdot B ?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A matriz A tem dimensão 8\times3 e seus elementos são dados por a_{ij}=2i-j, com i=1,\dots,8 e j=1,2,3.
  • A matriz B tem dimensão 3\times7 e seus elementos são dados por b_{ij}=i\cdot j, com i=1,2,3 e j=1,\dots,7.
  • Define-se C=A\cdot B; então C tem dimensão 8\times7 e seus elementos são c_{ij}.
  • A pergunta pede especificamente o elemento c_{56} (linha 5, coluna 6) da matriz C.

Passo 2

Lembrete: a multiplicação de matrizes é definida assim. Se A é m\times p e B é p\times n, então C=AB é m\times n e cada elemento c_{ij} é dado por
c_{ij}=\sum_{k=1}^{p} a_{ik}\,b_{kj}.
Aqui i indica a linha de A (e de C), j indica a coluna de B (e de C), e a soma corre sobre k, que percorre as colunas de A (ou linhas de B).

Passo 3

No nosso caso p=3. Aplicando a fórmula para c_{56} obtemos
c_{56}=\sum_{k=1}^{3} a_{5k}\,b_{k6}.
Ou seja, precisamos calcular os três produtos a_{5,1}b_{1,6}, a_{5,2}b_{2,6} e a_{5,3}b_{3,6} e somá-los.

Passo 4

Calcular os termos a_{5k} usando a_{ij}=2i-j:
a_{5,1}=2\cdot 5-1=10-1=9,
a_{5,2}=2\cdot 5-2=10-2=8,
a_{5,3}=2\cdot 5-3=10-3=7.

Passo 5

Calcular os termos b_{k6} usando b_{ij}=i\cdot j:
b_{1,6}=1\cdot 6=6,
b_{2,6}=2\cdot 6=12,
b_{3,6}=3\cdot 6=18.

Passo 6

Multiplicar termo a termo:
a_{5,1}b_{1,6}=9\cdot 6=54,
a_{5,2}b_{2,6}=8\cdot 12=96,
a_{5,3}b_{3,6}=7\cdot 18=126.

Passo 7

Somar os três produtos para obter c_{56}:
c_{56}=54+96+126.
Calcular passo a passo:
54+96=150,
150+126=276.

Resposta

276

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