Questão 6. Sejam
e
duas matrizes quadradas de mesma ordem tais que
e
comutem. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo isto vem do enunciado):
-
e são matrizes quadradas da mesma ordem (logo todos os produtos abaixo estão bem definidos). - O elemento
comuta com . Ou seja, vale
O que se pede: mostrar que
Passo 2
Pequena explicação sobre as regras que vou usar (sem pular etapas):
- “Comutar” significa que dois objetos
e satisfazem . - A multiplicação de matrizes é associativa: para três matrizes compatíveis
vale . Por isso posso escrever como e interpretar a ordem de multiplicação sem ambiguidade de parênteses. - Vou usar apenas expansão e rearranjo de termos (somar/subtrair as duas igualdades) — operações que preservam igualdade.
Passo 3
Começo a partir da hipótese de comutação dada:
Agora faço a expansão de cada lado, lembrando que
e
:
Passo 4
Reorganizo a igualdade do passo anterior para juntar todos os termos num único lado:
Simplificando os termos iguais no meio:
Passo 5
A partir de
faço um pequeno rearranjo algébrico para obter a expressão que queremos manipular. Se eu adicionar
aos dois lados da igualdade, obtenho:
No lado esquerdo os
se cancelam parcialmente e os
somam, ficando
Passo 6
Agora uso associatividade e fatoração à esquerda no membro
:
Portanto a igualdade obtida no passo anterior mostra que o lado esquerdo que queremos comparar é igual a
. Assim a identidade desejada fica demonstrada.