Questão 6. Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem tais que (A B-B A) e A comutem. Mostre que A^{2} B-B A^{2}=2 A(A B-B A).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo isto vem do enunciado):
  • A e B são matrizes quadradas da mesma ordem (logo todos os produtos abaixo estão bem definidos).
  • O elemento A B - B A comuta com A. Ou seja, vale
A\bigl(A B - B A\bigr)=\bigl(A B - B A\bigr)A.
O que se pede: mostrar que
A^{2}B - B A^{2} = 2A\bigl(A B - B A\bigr).

Passo 2

Pequena explicação sobre as regras que vou usar (sem pular etapas):
  • “Comutar” significa que dois objetos X e Y satisfazem XY=YX.
  • A multiplicação de matrizes é associativa: para três matrizes compatíveis X,Y,Z vale (XY)Z = X(YZ). Por isso posso escrever A^2B como AAB e interpretar a ordem de multiplicação sem ambiguidade de parênteses.
  • Vou usar apenas expansão e rearranjo de termos (somar/subtrair as duas igualdades) — operações que preservam igualdade.

Passo 3

Começo a partir da hipótese de comutação dada:
A\bigl(A B - B A\bigr)=\bigl(A B - B A\bigr)A.
Agora faço a expansão de cada lado, lembrando que A^2B = AAB e BA^2 = BAA:
AAB - ABA = ABA - BAA.

Passo 4

Reorganizo a igualdade do passo anterior para juntar todos os termos num único lado:
AAB - ABA - ABA + BAA = 0.
Simplificando os termos iguais no meio:
AAB - 2ABA + BAA = 0.

Passo 5

A partir de AAB - 2ABA + BAA = 0 faço um pequeno rearranjo algébrico para obter a expressão que queremos manipular. Se eu adicionar AAB - BAA aos dois lados da igualdade, obtenho:
\bigl(AAB - 2ABA + BAA\bigr) + \bigl(AAB - BAA\bigr) = 0 + \bigl(AAB - BAA\bigr).
No lado esquerdo os BAA se cancelam parcialmente e os AAB somam, ficando
2AAB - 2ABA = AAB - BAA.

Passo 6

Agora uso associatividade e fatoração à esquerda no membro 2AAB - 2ABA:
2AAB - 2ABA = 2A\bigl(AB\bigr) - 2A\bigl(BA\bigr) = 2A\bigl(AB - BA\bigr).
Portanto a igualdade obtida no passo anterior mostra que o lado esquerdo que queremos comparar é igual a 2A(AB-BA). Assim a identidade desejada fica demonstrada.

Resposta

A^{2}B - B A^{2} = 2A\bigl(A B - B A\bigr)

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