Se A e B são matrizes simétricas, justifique a verdade ou falsidade dos seguintes enunciados
a) A+B é uma matriz simétrica.
b) AB é uma matriz simétrica.
Nota: Se sua resposta for verdadeira prove, caso contrário exiba um contra-exemplo

Passo 1

O enunciado nos diz que A e B são matrizes simétricas, ou seja, satisfazem
A^T = A e B^T = B
Precisamos examinar se
  1. A + B é simétrica;
  2. AB é simétrica.
    Para isso, vamos usar as propriedades da transposição:
(M + N)^T = M^T + N^T,
(MN)^T = N^T M^T

Passo 2

Analisando A + B. Pela definição, A+B é simétrica se
(A + B)^T = A + B
Mas
(A + B)^T = A^T + B^T = A + B
porque A^T=A e B^T=B. Logo A+B é simétrica.

Passo 3

Concluímos que o item (a) é verdadeiro.

Passo 4

Analisando AB. Queremos ver se
(AB)^T = AB
Usando a propriedade do produto,
(AB)^T = B^T A^T = B,A
Portanto, AB é simétrica se e somente se
BA = AB,
ou seja, se A e B comutam. Como nem todo par de matrizes simétricas comuta, o item (b) não vale em geral.

Passo 5

Contra-exemplo em 2times2:
A = 0 & 1 1 & 0, B = 1 & 0 0 & 2
Ambas são simétricas. Calculando
AB = 0 & 2 1 & 0,
(AB)^T = 0 & 1 2 & 0,
vemos que (AB)^T neq AB. Logo, neste caso AB não é simétrica.

Resposta

(a) Verdadeira.
(b) Falsa.

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