Se A e B são matrizes simétricas, justifique a verdade ou falsidade dos seguintes enunciados
a)
é uma matriz simétrica.
b) AB é uma matriz simétrica.
Nota: Se sua resposta for verdadeira prove, caso contrário exiba um contra-exemplo
a)
b) AB é uma matriz simétrica.
Passo 1
O enunciado nos diz que
e
são matrizes simétricas, ou seja, satisfazem
Precisamos examinar se
-
é simétrica; -
é simétrica.
Para isso, vamos usar as propriedades da transposição:
Passo 2
Analisando
. Pela definição,
é simétrica se
Mas
porque
e
. Logo
é simétrica.
Passo 3
Concluímos que o item (a) é verdadeiro.
Passo 4
Analisando
. Queremos ver se
Usando a propriedade do produto,
Portanto,
é simétrica se e somente se
ou seja, se
e
comutam. Como nem todo par de matrizes simétricas comuta, o item (b) não vale em geral.
Passo 5
Contra-exemplo em
:
Ambas são simétricas. Calculando
vemos que
(AB)^T neq AB . Logo, neste caso
AB não é simétrica.
Resposta
(a) Verdadeira.
(b) Falsa.
(b) Falsa.