Sejam as matrizes de ordem 4, A e B em que A=[ai j]4 com ai j=llj^i & se i >= j 0 & se i<j, B uma matriz simétrica com bi j=i+j se i <= j.
Encontre
a) C=2 A-3 B
b) C=B^2. C é uma matriz simétrica?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas matrizes A e B de ordem 4 (ou seja, 4x4). A matriz A é definida de tal forma que cada elemento aij é igual a j^i se i >= j , e zero caso contrário. Já a matriz B é simétrica e seus elementos bij são iguais a i + j quando i <= j . Precisamos resolver duas partes:
a) Calcular C = 2A - 3B
b) Calcular C = B^2 e verificar se C é uma matriz simétrica.
Para resolver isso, vamos precisar entender como construir matrizes com base nas definições dadas, como multiplicar matrizes por escalares e como multiplicar matrizes entre si. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos construir a matriz A. Como A é 4x4, vamos preencher cada elemento aij de acordo com a regra: aij = j^i se i >= j , senão aij = 0 .
Vamos montar A linha por linha:
  • Para i = 1 :
    • a11 = 1^1 = 1
    • a12 = 0 (porque 1 < 2)
    • a13 = 0 (porque 1 < 3)
    • a14 = 0 (porque 1 < 4)
  • Para i = 2 :
    • a21 = 1^2 = 1
    • a22 = 2^2 = 4
    • a23 = 0 (porque 2 < 3)
    • a24 = 0 (porque 2 < 4)
  • Para i = 3 :
    • a31 = 1^3 = 1
    • a32 = 2^3 = 8
    • a33 = 3^3 = 27
    • a34 = 0 (porque 3 < 4)
  • Para i = 4 :
    • a41 = 1^4 = 1
    • a42 = 2^4 = 16
    • a43 = 3^4 = 81
    • a44 = 4^4 = 256
Então, a matriz A fica assim:
A = 1 & 0 & 0 & 0 1 & 4 & 0 & 0 1 & 8 & 27 & 0 1 & 16 & 81 & 256

Passo 3

Agora, vamos construir a matriz B. Ela também é 4x4 e simétrica, o que significa que bij = bji . A regra para os elementos bij é bij = i + j se i <= j .
Vamos preencher B considerando a simetria:
  • Para i = 1 :
    • b11 = 1 + 1 = 2
    • b12 = 1 + 2 = 3
    • b13 = 1 + 3 = 4
    • b14 = 1 + 4 = 5
  • Para i = 2 :
    • b21 = b12 = 3 (pela simetria)
    • b22 = 2 + 2 = 4
    • b23 = 2 + 3 = 5
    • b24 = 2 + 4 = 6
  • Para i = 3 :
    • b31 = b13 = 4
    • b32 = b23 = 5
    • b33 = 3 + 3 = 6
    • b34 = 3 + 4 = 7
  • Para i = 4 :
    • b41 = b14 = 5
    • b42 = b24 = 6
    • b43 = b34 = 7
    • b44 = 4 + 4 = 8
Assim, a matriz B fica:
B = 2 & 3 & 4 & 5 3 & 4 & 5 & 6 4 & 5 & 6 & 7 5 & 6 & 7 & 8

Passo 4

Vamos resolver a parte a) que pede para encontrar C = 2A - 3B .
Primeiro, vamos calcular 2A . Isso significa multiplicar cada elemento de A por 2:
2A = 2 times 1 & 0 & 0 & 0 1 & 4 & 0 & 0 1 & 8 & 27 & 0 1 & 16 & 81 & 256 = 2 & 0 & 0 & 0 2 & 8 & 0 & 0 2 & 16 & 54 & 0 2 & 32 & 162 & 512
Em seguida, vamos calcular 3B , ou seja, multiplicar cada elemento de B por 3:
3B = 3 times 2 & 3 & 4 & 5 3 & 4 & 5 & 6 4 & 5 & 6 & 7 5 & 6 & 7 & 8 = 6 & 9 & 12 & 15 9 & 12 & 15 & 18 12 & 15 & 18 & 21 15 & 18 & 21 & 24

Passo 5

Agora, para encontrar C = 2A - 3B , vamos subtrair a matriz 3B da matriz 2A elemento por elemento:
C = 2A - 3B = 2 - 6 & 0 - 9 & 0 - 12 & 0 - 15 2 - 9 & 8 - 12 & 0 - 15 & 0 - 18 2 - 12 & 16 - 15 & 54 - 18 & 0 - 21 2 - 15 & 32 - 18 & 162 - 21 & 512 - 24
Vamos calcular cada elemento:
C = -4 & -9 & -12 & -15 -7 & -4 & -15 & -18 -10 & 1 & 36 & -21 -13 & 14 & 141 & 488

Passo 6

Agora, vamos resolver a parte b) que pede para encontrar C = B^2 e verificar se C é simétrica.
Primeiro, vamos calcular B^2 , ou seja, multiplicar a matriz B por ela mesma. A multiplicação de matrizes envolve multiplicar as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz e somar os produtos correspondentes.
Vamos calcular cada elemento de C:
  • c11 = (2 times 2) + (3 times 3) + (4 times 4) + (5 times 5) = 4 + 9 + 16 + 25 = 54
  • c12 = (2 times 3) + (3 times 4) + (4 times 5) + (5 times 6) = 6 + 12 + 20 + 30 = 68
  • c13 = (2 times 4) + (3 times 5) + (4 times 6) + (5 times 7) = 8 + 15 + 24 + 35 = 82
  • c14 = (2 times 5) + (3 times 6) + (4 times 7) + (5 times 8) = 10 + 18 + 28 + 40 = 96
  • c21 = (3 times 2) + (4 times 3) + (5 times 4) + (6 times 5) = 6 + 12 + 20 + 30 = 68
  • c22 = (3 times 3) + (4 times 4) + (5 times 5) + (6 times 6) = 9 + 16 + 25 + 36 = 86
  • c23 = (3 times 4) + (4 times 5) + (5 times 6) + (6 times 7) = 12 + 20 + 30 + 42 = 104
  • c24 = (3 times 5) + (4 times 6) + (5 times 7) + (6 times 8) = 15 + 24 + 35 + 48 = 122
  • c31 = (4 times 2) + (5 times 3) + (6 times 4) + (7 times 5) = 8 + 15 + 24 + 35 = 82
  • c32 = (4 times 3) + (5 times 4) + (6 times 5) + (7 times 6) = 12 + 20 + 30 + 42 = 104
  • c33 = (4 times 4) + (5 times 5) + (6 times 6) + (7 times 7) = 16 + 25 + 36 + 49 = 126
  • c34 = (4 times 5) + (5 times 6) + (6 times 7) + (7 times 8) = 20 + 30 + 42 + 56 = 148
  • c41 = (5 times 2) + (6 times 3) + (7 times 4) + (8 times 5) = 10 + 18 + 28 + 40 = 96
  • c42 = (5 times 3) + (6 times 4) + (7 times 5) + (8 times 6) = 15 + 24 + 35 + 48 = 122
  • c43 = (5 times 4) + (6 times 5) + (7 times 6) + (8 times 7) = 20 + 30 + 42 + 56 = 148
  • c44 = (5 times 5) + (6 times 6) + (7 times 7) + (8 times 8) = 25 + 36 + 49 + 64 = 174
Então, a matriz C = B^2 fica:
C = 54 & 68 & 82 & 96 68 & 86 & 104 & 122 82 & 104 & 126 & 148 96 & 122 & 148 & 174

Resposta

A matriz C = B^2 é:
C = 54 & 68 & 82 & 96 68 & 86 & 104 & 122 82 & 104 & 126 & 148 96 & 122 & 148 & 174
Sim, a matriz C é simétrica porque cij = cji para todos os índices i e j.

Exercícios relacionados