Sejam as matrizes de ordem 4, A e B em que com , B uma matriz simétrica com bi j=i+j se i <= j.
Encontre
a) C=2 A-3 B
b) C=B^2. C é uma matriz simétrica?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas matrizes A e B de ordem 4 (ou seja, 4x4). A matriz A é definida de tal forma que cada elemento aij é igual a j^i se i >= j , e zero caso contrário. Já a matriz B é simétrica e seus elementos bij são iguais a i + j quando i <= j . Precisamos resolver duas partes:
a) Calcular C = 2A - 3B
b) Calcular C = B^2 e verificar se C é uma matriz simétrica.
Para resolver isso, vamos precisar entender como construir matrizes com base nas definições dadas, como multiplicar matrizes por escalares e como multiplicar matrizes entre si. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos construir a matriz A. Como A é 4x4, vamos preencher cada elemento aij de acordo com a regra: aij = j^i se i >= j , senão aij = 0 .
Agora, vamos construir a matriz B. Ela também é 4x4 e simétrica, o que significa que bij = bji . A regra para os elementos bij é bij = i + j se i <= j .
Agora, vamos resolver a parte b) que pede para encontrar C = B^2 e verificar se C é simétrica.
Primeiro, vamos calcular B^2 , ou seja, multiplicar a matriz B por ela mesma. A multiplicação de matrizes envolve multiplicar as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz e somar os produtos correspondentes.
Vamos calcular cada elemento de C:
c11 = (2 times 2) + (3 times 3) + (4 times 4) + (5 times 5) = 4 + 9 + 16 + 25 = 54
c12 = (2 times 3) + (3 times 4) + (4 times 5) + (5 times 6) = 6 + 12 + 20 + 30 = 68
c13 = (2 times 4) + (3 times 5) + (4 times 6) + (5 times 7) = 8 + 15 + 24 + 35 = 82
c14 = (2 times 5) + (3 times 6) + (4 times 7) + (5 times 8) = 10 + 18 + 28 + 40 = 96
c21 = (3 times 2) + (4 times 3) + (5 times 4) + (6 times 5) = 6 + 12 + 20 + 30 = 68
c22 = (3 times 3) + (4 times 4) + (5 times 5) + (6 times 6) = 9 + 16 + 25 + 36 = 86
c23 = (3 times 4) + (4 times 5) + (5 times 6) + (6 times 7) = 12 + 20 + 30 + 42 = 104
c24 = (3 times 5) + (4 times 6) + (5 times 7) + (6 times 8) = 15 + 24 + 35 + 48 = 122
c31 = (4 times 2) + (5 times 3) + (6 times 4) + (7 times 5) = 8 + 15 + 24 + 35 = 82
c32 = (4 times 3) + (5 times 4) + (6 times 5) + (7 times 6) = 12 + 20 + 30 + 42 = 104
c33 = (4 times 4) + (5 times 5) + (6 times 6) + (7 times 7) = 16 + 25 + 36 + 49 = 126
c34 = (4 times 5) + (5 times 6) + (6 times 7) + (7 times 8) = 20 + 30 + 42 + 56 = 148
c41 = (5 times 2) + (6 times 3) + (7 times 4) + (8 times 5) = 10 + 18 + 28 + 40 = 96
c42 = (5 times 3) + (6 times 4) + (7 times 5) + (8 times 6) = 15 + 24 + 35 + 48 = 122
c43 = (5 times 4) + (6 times 5) + (7 times 6) + (8 times 7) = 20 + 30 + 42 + 56 = 148
c44 = (5 times 5) + (6 times 6) + (7 times 7) + (8 times 8) = 25 + 36 + 49 + 64 = 174