(b) Quais das seguintes matrizes 3 times 3 estão na forma escalonada por linhas? Caso alguma não esteja, indique quais propriedades da definição não são satisfeitas.
A=[lll 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ], B=[lll 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 ], C=[lll 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 ]

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais das matrizes
A= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 , B= 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 , C= 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
estão em forma escalonada por linhas. Lembrando a definição de forma escalonada por linhas, devemos ter:
(i) linhas inteiramente nulas ficam abaixo das linhas não nulas;
(ii) em cada linha não nula o pivô (primeiro elemento não zero) está estritamente à direita do pivô da linha anterior;
(iii) todos os elementos abaixo de cada pivô são zero.

Passo 2

Analisando A:
– Linha 1 não nula tem pivô em coluna 1.
– Linha 2 não nula tem pivô em coluna 2.
– Linha 3 não nula tem seu primeiro não zero também em coluna 2, ou seja, o pivô da linha 3 não está à direita do pivô da linha 2 (viola (ii)).
– Além disso, abaixo do pivô de linha 2 (posição (2,2)) há o valor A3,2=1neq0, violando (iii).
Logo, A não está em forma escalonada por linhas.

Passo 3

Analisando B:
– Linha 1 não nula tem pivô em coluna 1.
– Linha 2 não nula tem pivô em coluna 2, que fica à direita de coluna 1.
– Linha 3 é totalmente nula e está abaixo das não nulas.
– Todos os elementos abaixo de cada pivô são zero.
Portanto, B satisfaz (i), (ii) e (iii) e está em forma escalonada por linhas.

Passo 4

Analisando C:
– Linha 1 não nula tem pivô em coluna 1.
– Linha 2 não nula tem pivô em coluna 3 (pois ,C2,1=0 e C2,2=0), que fica à direita de coluna 1.
– Linha 3 é totalmente nula e está abaixo.
– Todos os elementos abaixo dos pivôs são zero.
Logo, C também está em forma escalonada por linhas.

Resposta

As matrizes em forma escalonada por linhas são B e C; a matriz A não está nessa forma porque o pivô da terceira linha não avança à direita em relação ao pivô da segunda linha e há um elemento não zero abaixo do pivô de linha 2.

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