Considerando as matrizes abaixo, decida se A possui inversa. Em caso afirmativo, encontre A^-1.
A=[lll1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 1]

Passo 1

Vamos ver se a matriz A tem inversa. Estamos trabalhando com matrizes e álgebra linear, especificamente com a ideia de inversibilidade de matrizes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz A . Se o determinante for diferente de zero, a matriz tem uma inversa. Se tiver inversa, vamos encontrá-la usando o método da matriz dos cofatores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A . A matriz que temos é:
A = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 1
Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde os elementos da matriz são:
A = a & b & c d & e & f g & h & i

Passo 3

Aplicando os valores da matriz A :
a = 1, b = 0, c = 1 d = 0, e = 1, f = 1 g = 1, h = 1, i = 1
Vamos calcular cada parte do determinante:
ei - fh = (1)(1) - (1)(1) = 1 - 1 = 0 di - fg = (0)(1) - (1)(1) = 0 - 1 = -1 dh - eg = (0)(1) - (1)(1) = 0 - 1 = -1

Passo 4

Agora substituímos esses valores na fórmula do determinante:
det(A) = 1 times 0 - 0 times (-1) + 1 times (-1) = 0 - 0 - 1 = -1

Passo 5

Como o determinante det(A) = -1 é diferente de zero, isso significa que a matriz A tem inversa.

Passo 6

Para encontrar a inversa A^-1 , vamos usar a matriz dos cofatores e a matriz adjunta. Primeiro, precisamos calcular os cofatores de cada elemento da matriz A .

Passo 7

Calculamos cada cofator Cij usando a fórmula:
Cij = (-1)^i+j times Mij
Onde Mij é o menor complementar obtido removendo a i -ésima linha e a j -ésima coluna da matriz A .
Vamos calcular todos os cofatores:
  • Cofator C11 :
M11 = 1 & 1 1 & 1 , det(M11) = (1)(1) - (1)(1) = 0 C11 = (-1)^1+1 times 0 = 0
  • Cofator C12 :
M12 = 0 & 1 1 & 1 , det(M12) = (0)(1) - (1)(1) = -1 C12 = (-1)^1+2 times (-1) = 1
  • Cofator C13 :
M13 = 0 & 1 1 & 1 , det(M13) = (0)(1) - (1)(1) = -1 C13 = (-1)^1+3 times (-1) = 1
  • Cofator C21 :
M21 = 0 & 1 1 & 1 , det(M21) = (0)(1) - (1)(1) = -1 C21 = (-1)^2+1 times (-1) = 1
  • Cofator C22 :
M22 = 1 & 1 1 & 1 , det(M22) = (1)(1) - (1)(1) = 0 C22 = (-1)^2+2 times 0 = 0
  • Cofator C23 :
M23 = 1 & 0 1 & 1 , det(M23) = (1)(1) - (0)(1) = 1 C23 = (-1)^2+3 times 1 = -1
  • Cofator C31 :
M31 = 0 & 1 1 & 1 , det(M31) = (0)(1) - (1)(1) = -1 C31 = (-1)^3+1 times (-1) = 1
  • Cofator C32 :
M32 = 1 & 1 1 & 1 , det(M32) = (1)(1) - (1)(1) = 0 C32 = (-1)^3+2 times 0 = 0
  • Cofator C33 :
M33 = 1 & 0 0 & 1 , det(M33) = (1)(1) - (0)(0) = 1 C33 = (-1)^3+3 times 1 = 1

Passo 8

Agora, montamos a matriz dos cofatores:
Cof = 0 & 1 & 1 1 & 0 & -1 1 & 0 & 1

Passo 9

Em seguida, encontramos a matriz adjunta de A , que é a transposta da matriz dos cofatores:
Adj(A) = Cof^T = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 0 1 & -1 & 1

Passo 10

Finalmente, a inversa de A é calculada pela fórmula:
A^-1 = 1det(A) times Adj(A)
Sabemos que det(A) = -1 , então:
A^-1 = 1-1 times 0 & 1 & 1 1 & 0 & 0 1 & -1 & 1 = 0 & -1 & -1 -1 & 0 & 0 -1 & 1 & -1

Resposta

A matriz A possui inversa, que é:
A^-1 = 0 & -1 & -1 -1 & 0 & 0 -1 & 1 & -1

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