Sejam M, A e B pontos distintos sobre uma mesma reta. Se a=d(M, A)d(M, B), diz-se que M divide A B na razão a. Dado qualquer número real positivo a, mostre que existe um único ponto M in A B tal que M divide A B na razão a.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos distintos, A, B e M, todos alinhados na mesma reta. A questão define que se a razão entre as distâncias de M para A e de M para B é igual a um número real positivo a, ou seja, a = d(M, A)d(M, B), então M divide o segmento AB nessa razão a. Nosso objetivo é mostrar que, para qualquer valor positivo de a, sempre existe um único ponto M nessa reta que satisfaz essa condição.

Passo 2

Vamos começar desenhando uma reta com os pontos A e B. Queremos encontrar um ponto M entre A e B tal que a razão das distâncias d(M, A) e d(M, B) seja igual a a.
Sabemos que a distância total entre A e B pode ser representada como d(A, B). Para facilitar, vamos chamar essa distância de L, ou seja, L = d(A, B).

Passo 3

Agora, vamos expressar as distâncias d(M, A) e d(M, B) em termos de L e de um segmento adicional x que M divide. Suponha que d(M, A) = x. Então, a distância de M para B será d(M, B) = L - x.

Passo 4

De acordo com a razão dada, temos:
a = d(M, A)d(M, B) = xL - x
Queremos encontrar o valor de x que satisfaz essa equação para um dado a.

Passo 5

Resolvendo a equação para x:
a = xL - x a(L - x) = x aL - a x = x aL = x + a x aL = x(1 + a) x = aL1 + a

Passo 6

Agora que temos o valor de x, podemos determinar a posição de M. Sabemos que x = d(M, A) = aL1 + a. Isso significa que a distância de M até A é proporcional a a e à distância total L.

Passo 7

Como x está definido unicamente por a e L, e ambos são números fixos (com a > 0 e L > 0), isso garante que existe apenas um ponto M que satisfaz a condição dada. Portanto, para qualquer valor positivo de a, existe um único ponto M em AB que divide o segmento nessa razão.

Resposta

Existe um único ponto M em AB que divide o segmento na razão a, dado por M tal que d(M, A) = a1 + a cdot d(A, B).

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