a) Prove (A Desigualdade Triangular Generalizada)
|a+b+c| \leq|a|+|b|+|c|,
para todo a, b, c \in \mathbb{R}. Generalize para n números reais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer a,b,c\in\mathbb{R}, vale
|a+b+c|\le|a|+|b|+|c|
e depois estender esse resultado para uma soma de n reais. O conteúdo central é a desigualdade triangular e sua aplicação repetida ou via indução.

Passo 2

Antes de lidar com três termos, lembramos a desigualdade triangular clássica para dois números: para todo x,y\in\mathbb{R},
|x+y|\le|x|+|y|.
Uma forma rápida de ver isso é notar que -|x|\le x\le|x| e -|y|\le y\le|y|. Somando as duas cadeias obtemos -|x|-|y|\le x+y\le|x|+|y|,
o que implica
|x+y|\le|x|+|y|.

Passo 3

Agora aplicamos essa desigualdade em dois passos para três termos. Primeiro, chame X=a+b e Y=c. Então
|a+b+c| = |X+Y|\le|X|+|Y| = |a+b| + |c|.
Em seguida, reaplique a desigualdade triangular ao termo |a+b|:
|a+b|\le|a|+|b|.
Combinando, chega-se a
|a+b+c|\le(|a|+|b|)+|c| = |a|+|b|+|c|.

Passo 4

Para generalizar a n números \,x_1,x_2,\dots,x_n, usamos indução em n:
Base n=1: trivialmente \bigl|x_1\bigr|\le\bigl|x_1\bigr|.
Passo indutivo: suponha que
\Bigl|\sum_{i=1}^n x_i\Bigr|\le\sum_{i=1}^n|x_i|.
Então, ao adicionar x_{n+1} e usar a desigualdade para dois termos,
\Bigl|\sum_{i=1}^{n+1}x_i\Bigr| =\Bigl|\bigl(\sum_{i=1}^n x_i\bigr)+x_{n+1}\Bigr| \le\Bigl|\sum_{i=1}^n x_i\Bigr|+|x_{n+1}| \le\sum_{i=1}^n|x_i|+|x_{n+1}| =\sum_{i=1}^{n+1}|x_i|.
Isso fecha a indução.

Resposta

Para três números reais a,b,c vale
|a+b+c|\le|a|+|b|+|c|.
Em geral, para quaisquer n reais x_1,\dots,x_n temos
\Bigl|\sum_{i=1}^n x_i\Bigr|\;\le\;\sum_{i=1}^n|x_i|.

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