Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
y d x+x(\ln x-\ln y-1) d y=0, y(1)=e

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y\,dx + x\bigl(\ln x - \ln y - 1\bigr)\,dy = 0
com condição inicial y(1)=e. Trata-se de uma equação de primeira ordem que fica tratável via a substituição y=vx, pois o termo \ln x - \ln y depende apenas de v=y/x.

Passo 2

Reescrevendo em forma explícita para \frac{dy}{dx}, temos
y + x\bigl(\ln x - \ln y - 1\bigr)\,\frac{dy}{dx} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x\,\bigl(\ln x - \ln y - 1\bigr)}.

Passo 3

Fazendo y=vx implica \ln x - \ln y = \ln x - \ln(vx) = -\ln v e
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação, obtemos
v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{vx}{x\,(-\ln v -1)} = \frac{v}{\ln v + 1}.

Passo 4

Isolando dv/dx:
x\frac{dv}{dx} = \frac{v}{\ln v + 1} - v = -\frac{v\ln v}{\ln v + 1},
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\frac{dv}{dx} = -\frac{v\ln v}{(\ln v+1)\,x}.

Passo 5

Separamos variáveis:
\frac{\ln v + 1}{v\ln v}\,dv = -\frac{dx}{x}.
Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{v}\,dv + \int \frac{1}{v\ln v}\,dv = -\int \frac{1}{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|v| + \ln|\ln v| = -\ln|x| + C.

Passo 6

Juntamos os logaritmos:
\ln\bigl(v\ln v\bigr) = -\ln x + C \quad\Longrightarrow\quad v\ln v \cdot x = K,
onde K=e^C. Voltando a v=y/x, obtemos a solução implícita
y \,\ln\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) = K.
Usamos a condição y(1)=e para achar K:
K = e\cdot\ln\!\bigl(\tfrac{e}{1}\bigr) = e.

Resposta

y \,\ln\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) = e.

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