Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
y d x+x(\ln x-\ln y-1) d y=0, y(1)=e
y d x+x(\ln x-\ln y-1) d y=0, y(1)=e
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
com condição inicial
. Trata-se de uma equação de primeira ordem que fica tratável via a substituição
, pois o termo
depende apenas de
.
Passo 2
Reescrevendo em forma explícita para
, temos
Passo 3
Fazendo
implica
e
Substituindo na equação, obtemos
Passo 4
Isolando
:
logo
Passo 5
Separamos variáveis:
Agora integramos ambos os lados:
Passo 6
Juntamos os logaritmos:
onde
. Voltando a
, obtemos a solução implícita
Usamos a condição
para achar
: