(b) Seja
com as operações
. É um espaço vetorial sobre
? e se
fosse o conjunto das matrizes da forma
com as operações usuais?
Passo 1
Resumindo, queremos ver se cada estrutura é espaço vetorial sobre
R . Primeiro,
com
Depois,
com as operações usuais de matrizes. Vamos aplicar as condições de espaço vetorial (fechamento, identidade, inverso, axiomas de
R -multiplicação).
Passo 2
No primeiro caso, sob
oplus temos de mostrar que
(V1,oplus) é grupo abeliano:
- Fechamento: se
ex y>0 , entãox'y'>0
logo
(x,y)oplus(x',y')in V1 .
2. Identidade:(1,1) , pois
2. Identidade:
- Inverso: para
, como(x,y) ,xneq0 , o inverso éyneq0 .l(1/x,1/yr) - Comutatividade e associatividade seguem da multiplicação real.
Portanto
(V1,oplus) é grupo abeliano.
Passo 3
Basta um axioma de multiplicação escalar falhar para descartar
V1 . Considere a distributividade de escalares sobre soma de escalares:
O lado esquerdo é
enquanto o direito é
Para todo
x,y>0 deveriam valer
alpha+beta=alphabeta , o que é absurdo para escalares quaisquer. Logo falta um axioma e
V1 não é espaço vetorial.
Passo 4
No segundo caso,
V2 é um subconjunto de
M2(R) com soma e escalar usuais. Mas se
então
cuja posição
(1,2) não é mais
1 . Falha o fechamento sob adição, logo
V2 também não é espaço vetorial.
Resposta
Nenhuma das duas estruturas é espaço vetorial sobre
R .