(b) Seja V=(x, y) in R^2: x cdot y>0 com as operações (x, y) oplus(x^prime, y^prime)=(x x^prime, y y^prime) e alpha(x, y)=(alpha x^alpha, alpha y^alpha). É um espaço vetorial sobre R ? e se V fosse o conjunto das matrizes da forma (lla & 1 1 & b) com as operações usuais?

Passo 1

Resumindo, queremos ver se cada estrutura é espaço vetorial sobre R. Primeiro,
V1 = (x,y)inR^2 : x,y>0,
com
(x,y)oplus(x',y') = (x,x',,y,y'), alphacdot(x,y) = l(alpha,x^alpha,;alpha,y^alphar)
Depois,
V2 = a&11&b:a,binR
com as operações usuais de matrizes. Vamos aplicar as condições de espaço vetorial (fechamento, identidade, inverso, axiomas de R-multiplicação).

Passo 2

No primeiro caso, sob oplus temos de mostrar que (V1,oplus) é grupo abeliano:
  1. Fechamento: se x y>0 e x'y'>0, então
(xx')(yy')=(xy)(x'y')>0,
logo (x,y)oplus(x',y')in V1.
2. Identidade: (1,1), pois
(x,y)oplus(1,1)=(xcdot1,ycdot1)=(x,y)
  1. Inverso: para (x,y), como xneq0, yneq0, o inverso é l(1/x,1/yr).
  2. Comutatividade e associatividade seguem da multiplicação real.
Portanto (V1,oplus) é grupo abeliano.

Passo 3

Basta um axioma de multiplicação escalar falhar para descartar V1. Considere a distributividade de escalares sobre soma de escalares:
(alpha+beta)cdot(x,y) ;stackrel?=; alphacdot(x,y);oplus;betacdot(x,y)
O lado esquerdo é
l((alpha+beta),x^alpha+beta,;(alpha+beta),y^alpha+betar),
enquanto o direito é
l(alpha,x^alpha,;alpha,y^alphar)oplusl(beta,x^beta,;beta,y^betar) = l(alpha,x^alphacdotbeta,x^beta,;alpha,y^alphacdotbeta,y^betar) = l(alphabeta,x^alpha+beta,;alphabeta,y^alpha+betar)
Para todo x,y>0 deveriam valer
alpha+beta=alphabeta, o que é absurdo para escalares quaisquer. Logo falta um axioma e V1 não é espaço vetorial.

Passo 4

No segundo caso, V2 é um subconjunto de M2(R) com soma e escalar usuais. Mas se
A=a&11&b, A'=a'&11&b',
então
A+A'=a+a'&1+11+1&b+b' =a+a'&22&b+b',
cuja posição (1,2) não é mais 1. Falha o fechamento sob adição, logo V2 também não é espaço vetorial.

Resposta

Nenhuma das duas estruturas é espaço vetorial sobre R.

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