2^a Questão: (24 pontos) Considere a seguinte matriz
A=(rrrr 2 & 4 & 2 & -6 2 & 5 & 2 & -5 -2 & -7 & -3 & 4 2 & 7 & 1 & -3 )
(a) (14 pontos) Encontre a inversa de A, caso exista.
(b) (10 pontos) Calcule det(A).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com uma matriz específica A . A primeira parte (a) quer que a gente encontre a inversa dessa matriz, se ela existir. A segunda parte (b) pede para calcular o determinante de A . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas e determinantes. Precisaremos entender como calcular o determinante e, a partir dele, verificar se a matriz tem inversa. Se tiver, usaremos métodos para encontrar a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma matriz só tem inversa se o seu determinante for diferente de zero. Então, para encontrar a inversa de A , precisamos primeiro calcular o determinante de A . Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa.

Passo 3

Vamos calcular o determinante de A . Como A é uma matriz 4x4, o cálculo do determinante pode ser um pouco trabalhoso. Uma maneira de fazer isso é expandir o determinante usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Aqui, vamos usar a regra de Laplace para simplificar.

Passo 4

Calculando o determinante de A :
det(A) = 2 cdot 5 & 2 & -5 -7 & -3 & 4 7 & 1 & -3 - 4 cdot 2 & 2 & -5 -2 & -3 & 4 2 & 1 & -3 + 2 cdot 2 & 5 & -5 -2 & -7 & 4 2 & 7 & -3 - (-6) cdot 2 & 5 & 2 -2 & -7 & -3 2 & 7 & 1
Vamos calcular cada um desses determinantes menores:
  1. Primeiro determinante menor:
5 & 2 & -5 -7 & -3 & 4 7 & 1 & -3 = 5 cdot (-3 cdot -3 - 4 cdot 1) - 2 cdot (-7 cdot -3 - 4 cdot 7) + (-5) cdot (-7 cdot 1 - (-3) cdot 7)
= 5 cdot (9 - 4) - 2 cdot (21 - 28) + (-5) cdot (-7 + 21)
= 5 cdot 5 - 2 cdot (-7) + (-5) cdot 14
= 25 + 14 - 70 = -31
  1. Segundo determinante menor:
2 & 2 & -5 -2 & -3 & 4 2 & 1 & -3 = 2 cdot (-3 cdot -3 - 4 cdot 1) - 2 cdot (-2 cdot -3 - 4 cdot 2) + (-5) cdot (-2 cdot 1 - (-3) cdot 2)
= 2 cdot (9 - 4) - 2 cdot (6 - 8) + (-5) cdot (-2 + 6)
= 2 cdot 5 - 2 cdot (-2) + (-5) cdot 4
= 10 + 4 - 20 = -6
  1. Terceiro determinante menor:
2 & 5 & -5 -2 & -7 & 4 2 & 7 & -3 = 2 cdot (-7 cdot -3 - 4 cdot 7) - 5 cdot (-2 cdot -3 - 4 cdot 2) + (-5) cdot (-2 cdot 7 - (-7) cdot 2)
= 2 cdot (21 - 28) - 5 cdot (6 - 8) + (-5) cdot (-14 + 14)
= 2 cdot (-7) - 5 cdot (-2) + (-5) cdot 0
= -14 + 10 + 0 = -4
  1. Quarto determinante menor:
2 & 5 & 2 -2 & -7 & -3 2 & 7 & 1 = 2 cdot (-7 cdot 1 - (-3) cdot 7) - 5 cdot (-2 cdot 1 - (-3) cdot 2) + 2 cdot (-2 cdot 7 - (-7) cdot 2)
= 2 cdot (-7 + 21) - 5 cdot (-2 + 6) + 2 cdot (-14 + 14)
= 2 cdot 14 - 5 cdot 4 + 2 cdot 0
= 28 - 20 + 0 = 8
Agora, substituindo de volta na fórmula do determinante de A :
det(A) = 2 cdot (-31) - 4 cdot (-6) + 2 cdot (-4) - (-6) cdot 8
= -62 + 24 - 8 + 48
= 2

Resposta

O determinante de A é det(A) = 2 . Como o determinante é diferente de zero, a matriz A possui inversa.

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