Seja a um número real e seja
p(x)=det(ccc3-x & -1 & raiz2 0 & a-x & -1 0 & 4 & 1-x)
(b) Encontre os valores de a para os quais a equação p(x)=0 tem uma única raiz real.

Passo 1

O enunciado define o polinômio
p(x)=det 3-x & -1 & raiz2 0 & a-x & -1 0 & 4 & 1-x
e pede os valores de a para os quais a equação p(x)=0 tem exatamente uma única raiz real.

Passo 2

Para calcular p(x) usamos a expansão pela primeira coluna, já que os dois últimos elementos dessa coluna são zero. Assim,
p(x)=(3-x),deta-x & -14 & 1-x
O determinante do 2times2 é
(a-x)(1-x)-(-1)cdot4=(a-x)(1-x)+4

Passo 3

Expandindo essa expressão obtemos
(a-x)(1-x)+4 =a -a x -x +x^2 +4 =x^2-(a+1)x+(a+4)
Logo
p(x)=(3-x)l(x^2-(a+1)x+(a+4)r)

Passo 4

As raízes de p(x)=0 são
x=3 e x^2-(a+1)x+(a+4)=0
A segunda equação é quadrática de discriminante
De<a=(a+1)^2-4(a+4) =a^2+2a+1-4a-16 =a^2-2a-15 =(a-5)(a+3)

Passo 5

Para que p(x)=0 tenha somente uma raiz real, as duas raízes da parte quadrática devem ser não reais ou, no caso degenerado, coincidir exatamente em x=3:
  1. Se De<a<0 não há raízes reais na quadrática, sobrando apenas x=3. Ocorre quando
(a-5)(a+3)<0 Longrightarrow -3<a<5
  1. Se De<a=0 ocorre uma raiz dupla da quadrática.
    • Para a=-3 a raiz dupla é ,(a+1)/2=-1, dando duas raízes reais distintas ( -1 e 3), então não serve.
    • Para a=5 a raiz dupla é ,(a+1)/2=3, e todas as três raízes coincidem em x=3, restando uma única raiz real.
Juntando, a equação tem uma única raiz real se e somente se
-3<a<5 ou a=5
Em outras palavras, para
-3<a<=5

Resposta

-3<a<=5

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