Para que p(x)=0 tenha somente uma raiz real, as duas raízes da parte quadrática devem ser não reais ou, no caso degenerado, coincidir exatamente em x=3:
Se De<a<0 não há raízes reais na quadrática, sobrando apenas x=3. Ocorre quando
(a-5)(a+3)<0 Longrightarrow -3<a<5
Se De<a=0 ocorre uma raiz dupla da quadrática.
Para a=-3 a raiz dupla é ,(a+1)/2=-1, dando duas raízes reais distintas (-1 e 3), então não serve.
Para a=5 a raiz dupla é ,(a+1)/2=3, e todas as três raízes coincidem em x=3, restando uma única raiz real.
Juntando, a equação tem uma única raiz real se e somente se