Os conjuntos abaixo são linearmente independentes ou linearmente dependentes? Justifique (Faça contas somente quando for realmente necessário!)
(2,1,3),(0,0,0),(1,5,2) subset R^3.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto (2,1,3),(0,0,0),(1,5,2)subsetR^3 é linearmente independente ou dependente. O conteúdo aqui é independência linear de vetores em espaço vetorial.

Passo 2

Definição de independência linear: um conjunto de vetores v1,v2,v3 é independente se a única solução da equação
c1,v1 + c2,v2 + c3,v3 = 0
for c1 = c2 = c3 = 0. Caso exista solução não-trivial (algum ci neq 0), o conjunto é dependente.

Passo 3

No nosso conjunto temos o vetor nulo (0,0,0). Basta então escolher o coeficiente correspondente a ele não nulo (por exemplo, c2 = 1) e c1 = c3 = 0. Essa combinação não-trivial gera
0cdot(2,1,3) + 1cdot(0,0,0) + 0cdot(1,5,2) = (0,0,0),
portanto existe relação linear não-trivial e o conjunto é dependente.

Resposta

O conjunto (2,1,3),(0,0,0),(1,5,2) é linearmente dependente.

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