Resolver os seguintes sistemas pela Regra de Cramer:
S1:llx+y+z & =2 x-y+z & =0 y+2 z & =0 S2: 5 x-2 y+4 z & =2 4 x-3 y-4 z & =1 5 x+z & =3

Passo 1

Beleza, vamos resolver dois sistemas de equações usando a Regra de Cramer. A Regra de Cramer é uma técnica que utiliza determinantes para encontrar as soluções de sistemas lineares. Para isso, vamos precisar calcular determinantes das matrizes dos coeficientes e substituir as colunas correspondentes aos incógnitas.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro sistema, [S_1):
Primeiro, montamos a matriz dos coeficientes:
Calculamos o determinante de ):

Passo 3

Agora, para encontrar x , substituímos a primeira coluna de A pelos termos constantes:
Ax = 2 & 1 & 1 0 & -1 & 1 0 & 1 & 2
Calculamos De<ax :
De<ax = 2 cdot (-1 cdot 2 - 1 cdot 1) - 1 cdot (0 cdot 2 - 1 cdot 0) + 1 cdot (0 cdot 1 - (-1) cdot 0) = 2 cdot (-2 -1) -1 cdot 0 +1 cdot 0 = -6 -0 +0 = -6
Então, x = De<axDe<a = -6-4 = 32 .

Passo 4

Para encontrar y , substituímos a segunda coluna de A :
Ay = 1 & 2 & 1 1 & 0 & 1 0 & 0 & 2
Calculamos De<ay :
De<ay = 1 cdot (0 cdot 2 - 1 cdot 0) - 2 cdot (1 cdot 2 - 1 cdot 0) + 1 cdot (1 cdot 0 - 0 cdot 0) = 1 cdot 0 -2 cdot 2 +1 cdot 0 = 0 -4 +0 = -4
Então, y = De<ayDe<a = -4-4 = 1 .

Passo 5

Para encontrar z , substituímos a terceira coluna de A :
Az = 1 & 1 & 2 1 & -1 & 0 0 & 1 & 0
Calculamos De<az :
De<az = 1 cdot (-1 cdot 0 - 1 cdot 0) - 1 cdot (1 cdot 0 - 0 cdot 0) + 2 cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot 0) = 1 cdot 0 -1 cdot 0 +2 cdot 1 = 0 -0 +2 = 2
Então, z = De<azDe<a = 2-4 = -12 .

Passo 6

Agora, vamos resolver o segundo sistema, [S_2):
Primeiro, ajustamos o terceiro equação para ter todos os termos:
Montamos a matriz dos coeficientes:
Calculamos o determinante de ):

Passo 7

Para encontrar x , substituímos a primeira coluna de B pelos termos constantes:
Bx = 2 & -2 & 4 1 & -3 & -4 3 & 0 & 1
Calculamos De<ax :
De<ax = 2 cdot (-3 cdot 1 - (-4) cdot 0) - (-2) cdot (1 cdot 1 - (-4) cdot 3) + 4 cdot (1 cdot 0 - (-3) cdot 3) = 2 cdot (-3 -0) +2 cdot (1 +12) +4 cdot (0 +9) = -6 + 26 +36 = 56
Então, x = De<axDe<a = 5693 .

Passo 8

Para encontrar y , substituímos a segunda coluna de B :
By = 5 & 2 & 4 4 & 1 & -4 5 & 3 & 1
Calculamos De<ay :
De<ay = 5 cdot (1 cdot 1 - (-4) cdot 3) - 2 cdot (4 cdot 1 - (-4) cdot 5) + 4 cdot (4 cdot 3 -1 cdot 5) = 5 cdot (1 +12) -2 cdot (4 +20) +4 cdot (12 -5) = 5 cdot 13 -2 cdot 24 +4 cdot 7 = 65 -48 +28 = 45
Então, y = De<ayDe<a = 4593 = 1531 .

Passo 9

Para encontrar z , substituímos a terceira coluna de B :
Bz = 5 & -2 & 2 4 & -3 & 1 5 & 0 & 3
Calculamos De<az :
De<az = 5 cdot (-3 cdot 3 -1 cdot 0) - (-2) cdot (4 cdot 3 -1 cdot 5) +2 cdot (4 cdot 0 - (-3) cdot 5) = 5 cdot (-9 -0) +2 cdot (12 -5) +2 cdot (0 +15) = -45 +14 +30 = -1
Então, z = De<azDe<a = -193 .

Resposta

As soluções dos sistemas são:
Para S1 :
x = 32, y = 1, z = -12
Para S2 :
x = 5693, y = 1531, z = -193

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