(b) Seja
a parte da esfera
situada no semiespaço
. Calcule a integral de superfície
. Resp.:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
onde
é a metade superior da esfera de raio
, dada por
O conteúdo aqui é integral de superfície de uma função escalar sobre uma superfície parametrizada. Vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar
.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, tomamos o parâmetro
e
, com
Nesse caso o elemento de área da esfera de raio
é
Passo 3
Na parametrização,
Logo o integrando fica
Passo 4
Agora montamos a integral dupla sobre
e
:
Sabemos que
Passo 5
Substituindo esses valores: