(b) Seja S a parte da esfera x^2+y^2+z^2=9 situada no semiespaço z >= 0. Calcule a integral de superfície I=integral duplaS(x^2+y^2) d S. Resp.: I=18 pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
I = integral duplaS l(x^2 + y^2r),dS
onde S é a metade superior da esfera de raio 3, dada por
x^2+y^2+z^2=9, z>=0
O conteúdo aqui é integral de superfície de uma função escalar sobre uma superfície parametrizada. Vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar S.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, tomamos o parâmetro
thetain[0,2pi] e varphiin[0,pi/2], com
x = 3sinvarphicostheta, y = 3sinvarphisintheta, z = 3cosvarphi
Nesse caso o elemento de área da esfera de raio 3 é
dS = (3)^2sinvarphi,dvarphi,dtheta = 9sinvarphi,dvarphi,dtheta

Passo 3

Na parametrização,
x^2+y^2 = l(3sinvarphir)^2 = 9sin^2varphi
Logo o integrando fica
(x^2+y^2),dS = 9sin^2varphi ;l(9sinvarphi,dvarphi,dthetar) =81,sin^3varphi,dvarphi,dtheta

Passo 4

Agora montamos a integral dupla sobre theta e varphi:
I = integral0^2pi!!integral0^pi/2 81,sin^3varphi ,dvarphi,dtheta =81;l(integral0^2pidthetar);l(integral0^pi/2sin^3varphi,dvarphir)
Sabemos que
integral0^2pidtheta = 2pi, integral0^pi/2sin^3varphi,dvarphi =23

Passo 5

Substituindo esses valores:
I = 81 times 2pi times 23 = 81 times 4pi3 = 108pi

Resposta

I = 108pi

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