(b) Seja
dada por
. Verifique se
é uma transformação linear.
Passo 1
Então, a gente tem uma transformação
que pega um vetor
de
e transforma ele em
. A matéria que vamos usar pra resolver isso é Transformações Lineares. Nosso objetivo aqui é verificar se essa transformação
é realmente linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Basicamente, uma transformação
é linear se ela satisfaz duas propriedades:
- Adição de Vetores:
para quaisquer vetores e . - Multiplicação por Escalar:
para qualquer vetor e qualquer escalar .
Vamos verificar essas duas propriedades uma a uma.
Passo 3
Verificando a Propriedade da Adição
Vamos pegar dois vetores qualquer na forma
e
.
Primeiro, somamos os vetores:
Aplicando a transformação
nessa soma:
Agora, aplicamos
individualmente em
e
e somamos os resultados:
Comparando as duas expressões, vemos que são iguais:
Portanto, a propriedade da adição está satisfeita.
Passo 4
Verificando a Propriedade da Multiplicação por Escalar
Vamos pegar um vetor
e um escalar
.
Primeiro, multiplicamos o vetor por
:
Aplicando a transformação
nesse vetor escalado:
Então, temos que:
Portanto, a propriedade da multiplicação por escalar também está satisfeita.
Resposta
Sim, a transformação
é linear.