(b) Seja T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(3 x-y, 2 x+4 y). Verifique se T é uma transformação linear.

Passo 1

Então, a gente tem uma transformação que pega um vetor de e transforma ele em . A matéria que vamos usar pra resolver isso é Transformações Lineares. Nosso objetivo aqui é verificar se essa transformação é realmente linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Basicamente, uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Adição de Vetores: para quaisquer vetores e .
  2. Multiplicação por Escalar: para qualquer vetor e qualquer escalar .
Vamos verificar essas duas propriedades uma a uma.

Passo 3

Verificando a Propriedade da Adição
Vamos pegar dois vetores qualquer na forma u + v = (x1 + x2, y1 + y2) e T(u + v) = (3(x1 + x2) - (y1 + y2),, 2(x1 + x2) + 4(y1 + y2)) = (3x1 + 3x2 - y1 - y2,, 2x1 + 2x2 + 4y1 + 4y2) .
Primeiro, somamos os vetores:
T(u) + T(v) = (3x1 - y1,, 2x1 + 4y1) + (3x2 - y2,, 2x2 + 4y2) = (3x1 - y1 + 3x2 - y2,, 2x1 + 4y1 + 2x2 + 4y2)
Aplicando a transformação T(u + v) = T(u) + T(v) nessa soma:
Agora, aplicamos individualmente em e e somamos os resultados:
Comparando as duas expressões, vemos que são iguais:
Portanto, a propriedade da adição está satisfeita.

Passo 4

Verificando a Propriedade da Multiplicação por Escalar
Vamos pegar um vetor cu = (c x, c y) e um escalar T(cu) = (3(c x) - c y, 2(c x) + 4(c y)) = (3c x - c y, 2c x + 4c y) = c(3x - y,, 2x + 4y) = cT(u) .
Primeiro, multiplicamos o vetor por T(cu) = cT(u) :
Aplicando a transformação nesse vetor escalado:
Então, temos que:
Portanto, a propriedade da multiplicação por escalar também está satisfeita.

Resposta

Sim, a transformação é linear.

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