Verifique se a aplicação T: R^2 R^2 definida por T(x, y)=(x^2+y^2, x) é uma aplicação linear.

Passo 1

Vamos verificar se a aplicação definida por é uma aplicação linear. Para isso, precisamos entender o que é uma aplicação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, uma aplicação linear deve obedecer a duas propriedades fundamentais:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores no espaço de partida.
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar se a aplicação satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Primeiro, vamos testar a aditividade. Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = ( (x1 + x2)^2 + (y1 + y2)^2, x1 + x2 ) e = ( x1^2 + 2x1x2 + x2^2 + y1^2 + 2y1y2 + y2^2, x1 + x2 ) .
Calculando T(u) + T(v) = ( x1^2 + y1^2, x1 ) + ( x2^2 + y2^2, x2 ) = ( x1^2 + y1^2 + x2^2 + y2^2, x1 + x2 ) :
T(u + v) = ( x1^2 + y1^2 + x2^2 + y2^2 + 2x1x2 + 2y1y2, x1 + x2 )
Expandindo os quadrados:
T(u) + T(v) = ( x1^2 + y1^2 + x2^2 + y2^2, x1 + x2 )
Agora, calculando :
Comparando os resultados:
Percebe-se que devido aos termos .

Passo 4

Como a aplicação não satisfaz a propriedade da aditividade, já podemos concluir que não é uma aplicação linear. Não é necessário verificar a homogeneidade, pois basta uma das propriedades não ser satisfeita para que a aplicação não seja linear.

Resposta

A aplicação não é uma aplicação linear.

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