Verifique se a aplicação
definida por
é uma aplicação linear.
Passo 1
Vamos verificar se a aplicação
definida por
é uma aplicação linear. Para isso, precisamos entender o que é uma aplicação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, uma aplicação linear
deve obedecer a duas propriedades fundamentais:
- Aditividade:
para quaisquer vetores no espaço de partida. - Homogeneidade:
para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar se a aplicação
satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Primeiro, vamos testar a aditividade. Seja
e
.
Calculando
:
Expandindo os quadrados:
Agora, calculando
:
Comparando os resultados:
Percebe-se que
devido aos termos
.
Passo 4
Como a aplicação
não satisfaz a propriedade da aditividade, já podemos concluir que
não é uma aplicação linear. Não é necessário verificar a homogeneidade, pois basta uma das propriedades não ser satisfeita para que a aplicação não seja linear.
Resposta
A aplicação
não é uma aplicação linear.