Mostre que
é isomorfo ao subespaço
do
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o espaço
é isomorfo a um subespaço
de
, onde
. Isso significa que queremos provar que existe uma correspondência (função) que relaciona cada ponto de
a um ponto em
de forma que preserve a estrutura dos espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente noções de espaços vetoriais e isomorfismos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os espaços envolvidos.
é o conjunto de todos os pares ordenados
, enquanto o subespaço
de
é formado por todos os trios ordenados
onde
. Ou seja,
contém vetores como
.
Passo 3
Agora, para mostrar que esses espaços são isomorfos, precisamos encontrar uma função bijetora (uma para uma e sobre) que preserve as operações de adição e de multiplicação por escalar. Vamos definir uma função
da seguinte forma:
Essa função pega qualquer vetor em
e adiciona um terceiro componente igual a zero, colocando-o em
.
Passo 4
Vamos verificar se essa função
é linear. Uma função é linear se preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar:
- Adição:
Portanto, preserva a adição. - Multiplicação por escalar:
Assim, também preserva a multiplicação por escalar.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é bijetora:
- Injetora: Se
, então , o que implica e . Logo, é injetora. - Sobrejetora: Todo elemento de
tem a forma , e para qualquer , existe tal que . Portanto, é sobrejetora.
Resposta
Concluímos que a função
é um isomorfismo entre
e o subespaço
de
. Assim,
é isomorfo a
.