Mostre que R^2 é isomorfo ao subespaço W=(x, y, z) ; z=0 do R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o espaço R^2 é isomorfo a um subespaço W de R^3, onde W = (x, y, z) mid z = 0. Isso significa que queremos provar que existe uma correspondência (função) que relaciona cada ponto de R^2 a um ponto em W de forma que preserve a estrutura dos espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente noções de espaços vetoriais e isomorfismos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os espaços envolvidos. R^2 é o conjunto de todos os pares ordenados (a, b), enquanto o subespaço W de R^3 é formado por todos os trios ordenados (x, y, z) onde z = 0. Ou seja, W contém vetores como (x, y, 0).

Passo 3

Agora, para mostrar que esses espaços são isomorfos, precisamos encontrar uma função bijetora (uma para uma e sobre) que preserve as operações de adição e de multiplicação por escalar. Vamos definir uma função T: R^2 W da seguinte forma:
T(a, b) = (a, b, 0)
Essa função pega qualquer vetor em R^2 e adiciona um terceiro componente igual a zero, colocando-o em W.

Passo 4

Vamos verificar se essa função T é linear. Uma função é linear se preserva a adição de vetores e a multiplicação por escalar:
  1. Adição: T((a, b) + (c, d)) = T(a+c, b+d) = (a+c, b+d, 0) T(a, b) + T(c, d) = (a, b, 0) + (c, d, 0) = (a+c, b+d, 0) Portanto, T preserva a adição.
  2. Multiplicação por escalar: T(k(a, b)) = T(ka, kb) = (ka, kb, 0) k cdot T(a, b) = k cdot (a, b, 0) = (ka, kb, 0) Assim, T também preserva a multiplicação por escalar.

Passo 5

Agora, vamos verificar se T é bijetora:
  1. Injetora: Se T(a, b) = T(c, d), então (a, b, 0) = (c, d, 0), o que implica a = c e b = d. Logo, T é injetora.
  2. Sobrejetora: Todo elemento de W tem a forma (x, y, 0), e para qualquer (x, y, 0) in W, existe (x, y) in R^2 tal que T(x, y) = (x, y, 0). Portanto, T é sobrejetora.

Resposta

Concluímos que a função T(a, b) = (a, b, 0) é um isomorfismo entre R^2 e o subespaço W de R^3. Assim, R^2 é isomorfo a W.

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