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dada por
. Verifique se
é uma transformação linear.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para verificar se a função
definida por
é uma transformação linear. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre transformações lineares. Para resolver isso, vamos lembrar quais são as propriedades que uma transformação linear precisa ter e verificar se
as satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é uma transformação linear se ela satisfaz duas propriedades importantes para todos os números reais
e
, e para todo escalar
:
- Adição:
- Homogeneidade:
Se a função
cumprir essas duas propriedades, então ela é uma transformação linear.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade, a adição. Vamos calcular
e
e ver se são iguais.
Comparando os dois resultados:
Como
não é igual a
, a primeira propriedade não é satisfeita.
Passo 4
Mesmo que uma das propriedades não seja satisfeita, vamos verificar a segunda propriedade, a homogeneidade, para completar a análise.
Vamos calcular
e
:
Para que
, precisamos que:
Isso só é verdade se
, o que só ocorre quando
. Para outros valores de
, a igualdade não se sustenta. Portanto, a segunda propriedade também não é satisfeita.
Resposta
Não,
não é uma transformação linear porque não satisfaz as propriedades de adição e homogeneidade necessárias.