(b) Seja V=R^3. Determinar o subespaço gerado pelos vetores u1=(1,-1,1) e u2=(2,3,0). O subespaço gerado pelos vetores u1, u2 in R^3, não colineares, é um plano que passa pela origem.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o subespaço de R^3 gerado pelos vetores ,u1=(1,-1,1) e ,u2=(2,3,0). O conteúdo aqui é o conceito de subespaço gerado (ou span) em R^3, que, no caso de dois vetores não colineares, forma um plano que passa pela origem. Vamos usar a combinação linear para obter a forma paramétrica e, em seguida, encontrar a equação cartesiana do plano.

Passo 2

Escrevemos primeiro a forma paramétrica do subespaço . Seja . Então um vetor genérico de é
Distribuindo, obtemos

Passo 3

Portanto, a forma paramétrica do plano é
S = l(x,y,z)inR^3 mid x = a + 2b, ;y = -a + 3b, ;z = a, a,binRr

Passo 4

Para encontrar a equação cartesiana, calculamos um vetor normal ,n ao plano usando o produto vetorial ,u1times u2. Temos
u1times u2 =det i&j&k 1&-1&1 2&3&0 =(-1cdot0-1cdot3),i -l(1cdot0-1cdot2r),j +l(1cdot3-(-1)cdot2r),k,
ou seja,
n = (-3,,-2,,5)

Passo 5

Seja (x,y,z) um ponto qualquer do plano. A condição cartesiana é ncdot(x,y,z)=0, isto é,
-3x -2y +5z = 0
Essa é a equação do plano que passa pela origem e contém u1 e u2.

Resposta

O subespaço gerado é o plano
S = l(x,y,z)inR^3 mid -3x -2y +5z = 0r,
ou, em forma paramétrica,
S = (a+2b,,-a+3b,;a)mid a,binR

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