(b) Seja . Determinar o subespaço gerado pelos vetores e . O subespaço gerado pelos vetores , não colineares, é um plano que passa pela origem.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o subespaço de gerado pelos vetores e . O conteúdo aqui é o conceito de subespaço gerado (ou span) em , que, no caso de dois vetores não colineares, forma um plano que passa pela origem. Vamos usar a combinação linear para obter a forma paramétrica e, em seguida, encontrar a equação cartesiana do plano.
Passo 2
Escrevemos primeiro a forma paramétrica do subespaço . Seja . Então um vetor genérico de é
Distribuindo, obtemos
Passo 3
Portanto, a forma paramétrica do plano é
Passo 4
Para encontrar a equação cartesiana, calculamos um vetor normal ao plano usando o produto vetorial . Temos
ou seja,
n = (-3,,-2,,5)
Passo 5
Seja (x,y,z) um ponto qualquer do plano. A condição cartesiana é ncdot(x,y,z)=0, isto é,
-3x -2y +5z = 0
Essa é a equação do plano que passa pela origem e contém u1 e u2.