Sejam A, B matrizes quadradas de ordem n. Supondo que A e B são não nulas e A B= 0n times n, mostre que nem A e nem B são invertíveis.

Passo 1

O enunciado afirma que A e B são matrizes quadradas de ordem n, não nulas, e satisfazem
AB = 0ntimes n
O objetivo é mostrar que nenhuma delas pode ser invertível. Para isso vamos usar o fato de que, se uma matriz quadrada M é invertível, então existe M^-1 tal que M^-1M = MM^-1 = In.

Passo 2

Suponha, por contradição, que A seja invertível. Então existe uma matriz A^-1 com
A^-1A = In
Multiplicando a igualdade AB = 0ntimes n à esquerda por A^-1, obtemos
A^-1(AB) = A^-10ntimes n
Pela associatividade,
(A^-1A)B = 0ntimes n,
ou seja,
In,B = 0ntimes n,
logo
B = 0ntimes n
Isto contraria a hipótese de que B é não nula. Portanto A não pode ser invertível.

Passo 3

De modo análogo, suponha que B seja invertível. Então existe B^-1 tal que
BB^-1 = In
Multiplicando AB = 0ntimes n à direita por B^-1, obtemos
(AB)B^-1 = 0ntimes nB^-1,
isto é,
A,(BB^-1) = 0ntimes n,
logo
A,In = 0ntimes n Longrightarrow A = 0ntimes n
Isso contraria a hipótese de que A é não nula. Portanto B também não pode ser invertível.

Resposta

Nem A nem B são invertíveis.

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