Sejam
matrizes quadradas de ordem
. Supondo que
e
são não nulas e
, mostre que nem
e nem
são invertíveis.
Passo 1
O enunciado afirma que
e
são matrizes quadradas de ordem
, não nulas, e satisfazem
O objetivo é mostrar que nenhuma delas pode ser invertível. Para isso vamos usar o fato de que, se uma matriz quadrada
é invertível, então existe
tal que
.
Passo 2
Suponha, por contradição, que
seja invertível. Então existe uma matriz
com
Multiplicando a igualdade
à esquerda por
, obtemos
Pela associatividade,
ou seja,
logo
Isto contraria a hipótese de que
é não nula. Portanto
não pode ser invertível.
Passo 3
De modo análogo, suponha que
seja invertível. Então existe
tal que
Multiplicando
à direita por
, obtemos
isto é,
logo
Isso contraria a hipótese de que
é não nula. Portanto
também não pode ser invertível.
Resposta
Nem
nem
são invertíveis.