Determine todas as soluções de cada um dos sistemas lineares a seguir:
lx+y+z=a 2 x+2 y+2 z=0 x-y=3, onde a é um número real qualquer.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com parâmetro a:
x+y+z = a, 2x+2y+2z = 0, x - y = 3
O conteúdo aqui é análise de compatibilidade de sistemas lineares e solução de sistemas com parâmetro. Vamos usar redução de equações e discussão de casos.

Passo 2

Observe que a segunda equação é equivalente a
x + y + z = 0
(dividindo tudo por 2). Compare isso com a primeira equação x+y+z = a. Para que as duas não entrem em contradição, deve valer
a = 0
Se a neq 0, o sistema fica
x+y+z = ae x+y+z = 0
ao mesmo tempo, o que é impossível. Logo, para aneq 0 o sistema não tem solução.

Passo 3

Agora considere o caso a = 0. As duas primeiras equações se reduzem a uma única:
x + y + z = 0
O sistema fica então
x + y + z = 0, x - y = 3

Passo 4

Resolvendo para x e z em função de y:
da segunda equação temos
x = y + 3
Substituindo em x+y+z=0:
(y+3) + y + z = 0 Longrightarrow 2y + z + 3 = 0 Longrightarrow z = -2y - 3
Portanto y é parâmetro livre, digamos y = tinR, e
x = t + 3, y = t, z = -2t - 3

Resposta

Para aneq 0: sem solução.
Para a=0: infinitas soluções dadas por
(x,y,z) = (t+3,;t,;-2t-3), tinR

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