Determine todas as soluções de cada um dos sistemas lineares a seguir: , onde a é um número real qualquer.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear com parâmetro a:
x+y+z = a, 2x+2y+2z = 0, x - y = 3
O conteúdo aqui é análise de compatibilidade de sistemas lineares e solução de sistemas com parâmetro. Vamos usar redução de equações e discussão de casos.
Passo 2
Observe que a segunda equação é equivalente a
x + y + z = 0
(dividindo tudo por 2). Compare isso com a primeira equação x+y+z = a. Para que as duas não entrem em contradição, deve valer
a = 0
Se a neq 0, o sistema fica
x+y+z = ae x+y+z = 0
ao mesmo tempo, o que é impossível. Logo, para aneq 0 o sistema não tem solução.
Passo 3
Agora considere o caso a = 0. As duas primeiras equações se reduzem a uma única:
x + y + z = 0
O sistema fica então
x + y + z = 0, x - y = 3
Passo 4
Resolvendo para x e z em função de y:
da segunda equação temos
x = y + 3
Substituindo em x+y+z=0:
(y+3) + y + z = 0 Longrightarrow 2y + z + 3 = 0 Longrightarrow z = -2y - 3
Portanto y é parâmetro livre, digamos y = tinR, e
x = t + 3, y = t, z = -2t - 3
Resposta
Para aneq 0: sem solução.
Para a=0: infinitas soluções dadas por