Determine todas as soluções de cada um dos sistemas lineares a seguir:
lx1+x2=0 x3-x2=5 x1+x4=10

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com quatro variáveis x1, x2, x3 e x4:
x1 + x2 = 0 x3 - x2 = 5 x1 + x4 = 10
O conteúdo que vamos usar aqui é o de sistemas lineares, especificamente métodos de resolução como substituição e isolaçao de variáveis. Precisaremos manipular as equações para encontrar os valores das variáveis que satisfazem todas as equações simultaneamente.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a primeira equação para uma das variáveis. A primeira equação é:
x1 + x2 = 0
Podemos isolar x1 subtraindo x2 de ambos os lados:
x1 = -x2
Agora sabemos que x1 pode ser expresso em termos de x2.

Passo 3

A segunda equação é:
x3 - x2 = 5
Vamos isolar x3 adicionando x2 a ambos os lados:
x3 = x2 + 5
Assim, x3 também está expresso em termos de x2.

Passo 4

A terceira equação é:
x1 + x4 = 10
Já sabemos que x1 = -x2 (do Passo 2), então podemos substituir esse valor na terceira equação:
- x2 + x4 = 10
Agora, vamos isolar x4 adicionando x2 a ambos os lados:
x4 = x2 + 10
Portanto, x4 também está em termos de x2.

Passo 5

Até agora, conseguimos expressar todas as variáveis em termos de x2. Como temos quatro variáveis e apenas três equações, isso significa que há infinitas soluções dependendo do valor de x2. Podemos parametrizar x2 como um número real qualquer, digamos t.
Então, temos:
x1 = -t x2 = t x3 = t + 5 x4 = t + 10

Resposta

Todas as soluções do sistema são dadas por:
x1 = -t x2 = t x3 = t + 5 x4 = t + 10
Onde t é um número real qualquer.

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