(b) Sejam beta=1, x-1,(x-1)^2 base de P2(R) e p(x)=1+2 x-5 x^2 in P2(R), determine [p(x)]beta
(c) Seja gamma=x, 1+x^2, x+x^2 base de P2(R), determine p(x) in P2(R) tal que [p(x)]gamma=[c3 4 -5].
(d) Considere as bases beta e gamma de P2(R), dadas acima e determine as matrizes [I]gamma^beta e[I]beta^gamma.

Passo 1

O enunciado trata do espaço P2(R) de polinômios de grau <=2.
(b) pede as coordenadas de p(x)=1+2x-5x^2 na base beta=1,;x-1,;(x-1)^2.
(c) dá a base gamma=x,;1+x^2,;x+x^2 e pede o polinômio com coordenadas l[,p(x)r]gamma=(3,4,-5).
(d) quer as matrizes de mudança de base [I]gamma^beta e [I]beta^gamma.

Passo 2

Para (b) escrevemos
Expandindo o lado direito:
Comparando com
Daí e .
Logo

Passo 3

Para (c) usamos diretamente as coordenadas em gamma:
p(x)=3cdot x ;+;4,(1+x^2);-;5,(x+x^2)
Somando termos semelhantes:
p(x)=4 ;+;(3-5)x ;+;(4-5)x^2 =4 ;-;2x ;-;x^2

Passo 4

Para achar [I]gamma^beta, expressamos cada vetor betaj em coordenadas de gamma.
1) beta1=1. Buscamos alpha1,alpha2,alpha3 tais que
1 = alpha1,x + alpha2,(1+x^2) + alpha3,(x+x^2)
Isto leva a (alpha2) +(alpha1+alpha3)x+(alpha2+alpha3)x^2 =1, de onde (alpha1,alpha2,alpha3)=(1,1,-1).
2) beta2=x-1 (alpha1,alpha2,alpha3)=(0,-1,1).
3) beta3=(x-1)^2 (alpha1,alpha2,alpha3)=(-2,1,0).
Assim
[I]gamma^beta = 1 & 0 & -2 1 & -1 & 1 -1 & 1 & 0 ,
onde cada coluna são as coordenadas de beta1,beta2,beta3 em gamma.

Passo 5

Para [I]beta^gamma expressamos cada gammaj em beta-coordenadas:
1) gamma1=x (1,1,0).
2) gamma2=1+x^2 (2,2,1).
3) gamma3=x+x^2 (2,3,1).
Logo
[I]beta^gamma = 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 0 & 1 & 1 ,
com colunas as coordenadas de gamma1,gamma2,gamma3 em beta.

Resposta

(b) \n(c) \n(d) \n

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