(b) Sejam base de e , determine
(c) Seja base de , determine tal que .
(d) Considere as bases beta e gamma de P2(R), dadas acima e determine as matrizes [I]gamma^beta e[I]beta^gamma.
Passo 1
O enunciado trata do espaço P2(R) de polinômios de grau <=2.
(b) pede as coordenadas de p(x)=1+2x-5x^2 na base beta=1,;x-1,;(x-1)^2.
(c) dá a base gamma=x,;1+x^2,;x+x^2 e pede o polinômio com coordenadas l[,p(x)r]gamma=(3,4,-5).
(d) quer as matrizes de mudança de base [I]gamma^beta e [I]beta^gamma.
Passo 2
Para (b) escrevemos
Expandindo o lado direito:
Comparando com
Daí e .
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Passo 3
Para (c) usamos diretamente as coordenadas em gamma:
p(x)=3cdot x ;+;4,(1+x^2);-;5,(x+x^2)
Somando termos semelhantes:
p(x)=4 ;+;(3-5)x ;+;(4-5)x^2 =4 ;-;2x ;-;x^2
Passo 4
Para achar [I]gamma^beta, expressamos cada vetor betaj em coordenadas de gamma. 1) beta1=1. Buscamos alpha1,alpha2,alpha3 tais que
1 = alpha1,x + alpha2,(1+x^2) + alpha3,(x+x^2)
Isto leva a (alpha2) +(alpha1+alpha3)x+(alpha2+alpha3)x^2 =1, de onde (alpha1,alpha2,alpha3)=(1,1,-1). 2) beta2=x-1 dá (alpha1,alpha2,alpha3)=(0,-1,1). 3) beta3=(x-1)^2 dá (alpha1,alpha2,alpha3)=(-2,1,0).
Assim