Se A=[aij] com ai]=cji, i >= j 0, i<j, B=[bi] com B simétrica ei=i+j, i <= j. Encontre:
C=B^2 é uma matriz anti-simétrica?

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz B=[bij] de ordem n tal que
bij = i + j para i <= j,
e informa que B é simétrica. Como B é simétrica, concluímos que vale também
bij = bji = i + j para i>j
Queremos calcular C = B^2 pelo produto de matrizes e verificar se C é antissimétrica (isto é, se cij = -,cji).

Passo 2

Para achar o elemento genérico de C usamos a definição de multiplicação de matrizes:
cij = sumk=1^n bik,bkj
Como bik = i+k e bkj = k+j para todo i,k,j, temos
cij = sumk=1^n (i+k)(k+j)

Passo 3

Expandindo o produto dentro da soma:
(i+k)(k+j) = i,k + i,j + k^2 + k,j
Logo
cij = sumk=1^n l(i,k + i,j + k^2 + k,jr) = i,jsumk=1^n1 ;+; isumk=1^nk ;+;sumk=1^nk^2 ;+; jsumk=1^nk

Passo 4

Chamando
S1 = sumk=1^nk = n(n+1)2, S2 = sumk=1^nk^2 = n(n+1)(2n+1)6, sumk=1^n1 = n,
obtemos
cij = i,j,n ;+;(i+j),S1 ;+; S2
Portanto
cij = n,i,j ;+;n(n+1)2(i+j) ;+;n(n+1)(2n+1)6

Passo 5

Note que a expressão de cij é claramente simétrica em i e j: trocar i por j não altera o valor de
n,i,j, (i+j),nem o termo constante S2
Logo
cij = cji forall,i,j
Isso significa que C é simétrica, e não antissimétrica (a menos de o caso trivial em que todos os cij=0, o que não ocorre para dimensões positivas de B).

Resposta

Não. A matriz C = B^2 é simétrica ( cij=cji) e, portanto, não é antissimétrica.

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