Calcular o valor de para que sejam concorrentes as retas
e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o valor de m de modo que as retas r1 e r2 sejam concorrentes, ou seja, que elas se cruzem em algum ponto. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre equações paramétricas de retas e sistemas de equações. Precisamos encontrar um valor de m que torne as equações das duas retas compatíveis, ou seja, que exista pelo menos um ponto comum entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações das retas de forma mais clara. A reta [r_1) está definida por:
E a reta (r_2] está definida parametricamente por:
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta .
Passo 3
Para que as retas sejam concorrentes, deve haver um ponto (x, y, z) que satisfaça ambas as equações. Vamos igualar as coordenadas correspondentes das duas retas.
Primeiro, igualamos as coordenadas x :
x = 5 + t
Da reta r1 , sabemos que y = 2x - 5 . Vamos expressar y em termos de t :
y = 2(5 + t) - 5 = 10 + 2t - 5 = 5 + 2t
Mas da reta r2 , y = m t . Então:
5 + 2t = m t
Isso nos dá uma equação relacionando m e t :
m t - 2t = 5 t(m - 2) = 5 t = 5m - 2
Passo 4
Agora, vamos igualar a coordenada z . Da reta r1 , temos:
z = -x + 2 = -(5 + t) + 2 = -5 - t + 2 = -3 - t
Da reta r2 , z = t - 1 . Então:
-3 - t = t - 1
Resolvendo essa equação para t :
-3 - t = t - 1 -3 + 1 = t + t -2 = 2t t = -1
Passo 5
Agora que encontramos t = -1 , vamos substituir esse valor na expressão que relaciona t e m :
t = 5m - 2 -1 = 5m - 2
Resolvendo para m :
-1(m - 2) = 5 -m + 2 = 5 -m = 5 - 2 -m = 3 m = -3
Resposta
O valor de m que faz com que as retas sejam concorrentes é m = -3 .