Determinar uma equação da elipse, onde o eixo maior igual a 10 e os focos F1=(2,-1) e F2=(2,5). Esboçar o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem o eixo maior medindo 10 unidades e os focos nas coordenadas F1 = (2, -1) e F2 = (2, 5) . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as elipses. Vamos precisar saber a distância entre os focos, o comprimento do eixo maior e usar a fórmula geral da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da elipse. O centro está no ponto médio entre os dois focos. Para encontrar o ponto médio entre F1 = (2, -1) e F2 = (2, 5) , usamos a fórmula do ponto médio:
Centro (h, k) = ( x1 + x22, y1 + y22 )
Substituindo os valores:
h = 2 + 22 = 2 k = -1 + 52 = 2
Então, o centro da elipse é (2, 2) .

Passo 3

Agora, vamos determinar o valor de c , que é a distância do centro até cada foco. Sabemos que os focos estão alinhados na vertical, então apenas calculamos a diferença nas coordenadas y:
c = distância entre os focos2 = 5 - (-1)2 = 62 = 3 â
Então, c = 3 .

Passo 4

Sabemos que o eixo maior da elipse tem comprimento 10. Em uma elipse, o comprimento do eixo maior é igual a 2a , onde a é a distância do centro até a extremidade do eixo maior. Portanto:
2a = 10 implies a = 5
Então, a = 5 .

Passo 5

Para encontrar o valor de b , que é a distância do centro até a extremidade do eixo menor, usamos a relação entre a , b e c em uma elipse:
c^2 = a^2 - b^2
Substituindo os valores que temos:
3^2 = 5^2 - b^2 9 = 25 - b^2 b^2 = 25 - 9 b^2 = 16 implies b = 4
Então, b = 4 .

Passo 6

Agora, com os valores de h , k , a e b , podemos escrever a equação da elipse. A fórmula geral de uma elipse com eixo maior vertical é:
(x - h)^2b^2 + (y - k)^2a^2 = 1
Substituindo os valores encontrados:
(x - 2)^216 + (y - 2)^225 = 1

Resposta

A equação da elipse é:
(x - 2)^216 + (y - 2)^225 = 1

Gráfico

Para esboçar o gráfico:
  1. Marque o centro da elipse em (2, 2) .
  2. Como o eixo maior é vertical com comprimento 10, desenhe a elipse estendendo 5 unidades acima e abaixo do centro.
  3. O eixo menor é horizontal com comprimento 8, então estenda 4 unidades para a direita e esquerda do centro.
  4. Desenhe a elipse conectando esses pontos, garantindo que seja simétrica em relação aos eixos.

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