Determinar uma equação da elipse, onde o eixo maior igual a 10 e os focos
e
. Esboçar o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem o eixo maior medindo 10 unidades e os focos nas coordenadas
e
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as elipses. Vamos precisar saber a distância entre os focos, o comprimento do eixo maior e usar a fórmula geral da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da elipse. O centro está no ponto médio entre os dois focos. Para encontrar o ponto médio entre
e
, usamos a fórmula do ponto médio:
Substituindo os valores:
Então, o centro da elipse é
.
Passo 3
Agora, vamos determinar o valor de
, que é a distância do centro até cada foco. Sabemos que os focos estão alinhados na vertical, então apenas calculamos a diferença nas coordenadas y:
Então,
.
Passo 4
Sabemos que o eixo maior da elipse tem comprimento 10. Em uma elipse, o comprimento do eixo maior é igual a
, onde
é a distância do centro até a extremidade do eixo maior. Portanto:
Então,
.
Passo 5
Para encontrar o valor de
, que é a distância do centro até a extremidade do eixo menor, usamos a relação entre
,
e
em uma elipse:
Substituindo os valores que temos:
Então,
.
Passo 6
Agora, com os valores de
,
,
e
, podemos escrever a equação da elipse. A fórmula geral de uma elipse com eixo maior vertical é:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A equação da elipse é:
Gráfico
Para esboçar o gráfico:
- Marque o centro da elipse em
. - Como o eixo maior é vertical com comprimento 10, desenhe a elipse estendendo 5 unidades acima e abaixo do centro.
- O eixo menor é horizontal com comprimento 8, então estenda 4 unidades para a direita e esquerda do centro.
- Desenhe a elipse conectando esses pontos, garantindo que seja simétrica em relação aos eixos.