Mostre que o conjunto
munido das operações usuais de adição de vetores e multiplicação de um vetor por um escalar é um espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que o conjunto dos pares de números reais,
, com as operações normais de soma de vetores e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Isso está ligado à álgebra linear, onde definimos certas regras que precisam ser satisfeitas para algo ser considerado um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz várias propriedades chamadas axiomas, como comutatividade da soma, existência do elemento neutro, entre outros. No nosso caso, os vetores são pares de números reais, tipo
.
Passo 3
Vamos começar verificando se a soma em
é comutativa. Ou seja, se para dois vetores qualquer
e
, temos:
Realmente:
E como a soma dos números reais é comutativa, isso vale.
Passo 4
Agora, verificamos a associatividade da soma. Para três vetores
,
e
:
E
Novamente, como a soma dos reais é associativa, isso funciona.
Passo 5
Vamos checar se existe um vetor zero, que age como neutro na soma. O vetor
:
Então,
é o elemento neutro.
Passo 6
Precisamos também que cada vetor tenha um inverso aditivo. Para qualquer
, existe
tal que:
Isso mostra que cada vetor tem seu inverso.
Passo 7
Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Para um escalar
e vetor
:
Isso está de acordo com as definições das operações em
.
Passo 8
Vamos conferir os axiomas da multiplicação por escalar:
Todas essas propriedades são satisfeitas porque estamos trabalhando com números reais, que obedecem essas regras.
Passo 9
Como todas as propriedades e axiomas de um espaço vetorial são satisfeitos por
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, podemos concluir que
é realmente um espaço vetorial.
Resposta
Portanto, mostramos que
, com as operações usuais de adição de vetores e multiplicação por um escalar, é um espaço vetorial.