Mostre que o conjunto R^2 munido das operações usuais de adição de vetores e multiplicação de um vetor por um escalar é um espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que o conjunto dos pares de números reais, R^2, com as operações normais de soma de vetores e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Isso está ligado à álgebra linear, onde definimos certas regras que precisam ser satisfeitas para algo ser considerado um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz várias propriedades chamadas axiomas, como comutatividade da soma, existência do elemento neutro, entre outros. No nosso caso, os vetores são pares de números reais, tipo (a, b).

Passo 3

Vamos começar verificando se a soma em R^2 é comutativa. Ou seja, se para dois vetores qualquer (a, b) e (c, d), temos:
(a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b)
Realmente:
(a + c, b + d) = (c + a, d + b)
E como a soma dos números reais é comutativa, isso vale.

Passo 4

Agora, verificamos a associatividade da soma. Para três vetores (a, b), (c, d) e (e, f):
[(a, b) + (c, d)] + (e, f) = (a + c + e, b + d + f)
E
(a, b) + [(c, d) + (e, f)] = (a + c + e, b + d + f)
Novamente, como a soma dos reais é associativa, isso funciona.

Passo 5

Vamos checar se existe um vetor zero, que age como neutro na soma. O vetor (0, 0):
(a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
Então, (0, 0) é o elemento neutro.

Passo 6

Precisamos também que cada vetor tenha um inverso aditivo. Para qualquer (a, b), existe (-a, -b) tal que:
(a, b) + (-a, -b) = (0, 0)
Isso mostra que cada vetor tem seu inverso.

Passo 7

Agora, vamos verificar a multiplicação por escalar. Para um escalar k e vetor (a, b):
k cdot (a, b) = (k a, k b)
Isso está de acordo com as definições das operações em R^2.

Passo 8

Vamos conferir os axiomas da multiplicação por escalar:
  1. 1 cdot (a, b) = (a, b)
  2. k cdot [(a, b) + (c, d)] = k cdot (a, b) + k cdot (c, d)
  3. (k + m) cdot (a, b) = k cdot (a, b) + m cdot (a, b)
  4. k cdot (m cdot (a, b)) = (k m) cdot (a, b)
Todas essas propriedades são satisfeitas porque estamos trabalhando com números reais, que obedecem essas regras.

Passo 9

Como todas as propriedades e axiomas de um espaço vetorial são satisfeitos por R^2 com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, podemos concluir que R^2 é realmente um espaço vetorial.

Resposta

Portanto, mostramos que R^2, com as operações usuais de adição de vetores e multiplicação por um escalar, é um espaço vetorial.

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