Sejam
conjuntos limitados então
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dados conjuntos limitados
, vale
onde
. Vamos usar a definição de ínfimo (o maior dos limites inferiores) e o argumento com
.
Passo 2
Sejam
e
. Como para todo
temos
e para todo
temos
, então
Isso mostra que
é um limitante inferior de
, logo
Passo 3
Para mostrar que
é o maior dos limitantes inferiores, pegamos um
. Pela definição de ínfimo, existem
e
tais que
Somando essas desigualdades vem
Como
, isso implica
Como
é arbitrário, concluímos
Passo 4
Das desigualdades
seguimos a igualdade desejada.