13^circ) Sejam A, B subset R conjuntos limitados então inf (A+B)=inf A+inf B.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados conjuntos limitados A,BsubsetR, vale
inf(A+B);=;inf A;+;inf B,
onde A+B=,a+bmid ain A,;bin B. Vamos usar a definição de ínfimo (o maior dos limites inferiores) e o argumento com varepsilon>0.

Passo 2

Sejam alpha=inf A e beta=inf B. Como para todo ain A temos a>=alpha e para todo bin B temos b>=beta, então
a+b;>=;alpha+beta para todo ain A,;bin B
Isso mostra que alpha+beta é um limitante inferior de A+B, logo
alpha+beta;<=;inf(A+B)

Passo 3

Para mostrar que alpha+beta é o maior dos limitantes inferiores, pegamos um varepsilon>0. Pela definição de ínfimo, existem ain A e bin B tais que
a;<;alpha+varepsilon2, b;<;beta+varepsilon2
Somando essas desigualdades vem
a+b;<;alpha+beta+varepsilon
Como a+bin A+B, isso implica
inf(A+B);<=;a+b;<;alpha+beta+varepsilon
Como varepsilon é arbitrário, concluímos
inf(A+B);<=;alpha+beta

Passo 4

Das desigualdades
alpha+beta;<=;inf(A+B) e inf(A+B);<=;alpha+beta
seguimos a igualdade desejada.

Resposta

inf(A+B)=inf A+inf B.

Exercícios relacionados