b) alpha u e beta w tal que v=alpha u+beta w
Seria possível realizar este exercício no caso de os vetores u, v e w serem não coplanares?

Passo 1

O enunciado pede para escrever
v = alpha,u + beta,w
ou seja, encontrar escalares alpha,beta tais que v seja combinação linear de u e w. O conteúdo aqui é espaço gerado (span) e cobertura de planos por vetores.

Passo 2

Dois vetores não colineares u e w geram um plano em R^3. Concretamente, o conjunto
Spanu,w =alpha,u+beta,wmid alpha,betainR
é exatamente o plano que contém u e w.

Passo 3

Para existir alpha,beta tais que v=alpha,u+beta,w, é necessário e suficiente que v pertença a esse mesmo plano gerado por u e w. Se v não estiver nesse plano, não há como escrever v como combinação linear de u e w.

Passo 4

Ser “não coplanares” significa que u,v,w não estão todos em um mesmo plano. Logo, se são não coplanares, v não faz parte do plano gerado por u e w, e não existem alpha,beta que resolvam
v = alpha,u + beta,w

Resposta

Não. Se u,v,w são não coplanares, então v não pertence ao plano gerado por u e w, e não existem escalares alpha,beta tais que v=alpha,u+beta,w.

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