Considere a transformação linear T: R^4 R^4, T(x, y, z, t)=(-x+2 y+3 z+4 t, y+5 z+6 t, z+7 t,-t).
Determine a matriz A que representa T com respeito à base canônica.

Passo 1

O enunciado apresenta a transformação linear
Tcolon R^4toR^4, T(x,y,z,t)=(-x+2y+3z+4t,;y+5z+6t,;z+7t,;-t)
e pede a matriz A de T em relação à base canônica de R^4. Para isso, vamos usar que as colunas de A são as imagens dos vetores da base canônica.

Passo 2

Denotemos os vetores da base canônica por
e1=(1,0,0,0), e2=(0,1,0,0), e3=(0,0,1,0), e4=(0,0,0,1)
Em seguida, calculamos T(ei) para i=1,2,3,4.

Passo 3

Aplicando T a cada ei:
T(e1)=T(1,0,0,0)=(-1,0,0,0),
T(e2)=T(0,1,0,0)=(2,1,0,0),
T(e3)=T(0,0,1,0)=(3,5,1,0),
T(e4)=T(0,0,0,1)=(4,6,7,-1)

Passo 4

A matriz A em relação à base canônica tem como colunas os vetores T(e1),T(e2),T(e3),T(e4). Logo,
A = -1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 5 & 6 0 & 0 & 1 & 7 0 & 0 & 0 & -1

Resposta

A = -1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 5 & 6 0 & 0 & 1 & 7 0 & 0 & 0 & -1

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