Delermine se as transformaçöes, abaixo, são transformações lineares.
T: R^3 R^2, T(x, y, z)=(x+2 y, y+2 z)

Passo 1

O enunciado define a transformação
Tcolon R^3to R^2, T(x,y,z)=(x+2y,;y+2z)
Para determinar se T é linear, vamos usar a definição de transformação linear: para todo u,vinR^3 e todo escalar cinR, deve valer
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) (aditividade)
  2. T(c,u)=c,T(u) (homogeneidade)

Passo 2

Verificação da aditividade. Sejam
u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2). Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2),
e
T(u+v) =l((x1+x2)+2(y1+y2),;(y1+y2)+2(z1+z2)r)
=l(x1+2y1,;y1+2z1r)+l(x2+2y2,;y2+2z2r) =T(u)+T(v)

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja cinR e u=(x,y,z). Então
c,u=(c x,;c y,;c z),
e
T(c,u) =l(c x+2(c y),;c y+2(c z)r) =l(c(x+2y),;c(y+2z)r) =c,T(u)

Passo 4

Como T satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que T é de fato uma transformação linear.

Resposta

Sim, T é uma transformação linear.

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