Verdadeiro ou falso. Justifique a sua resposta.
Sejam p e q dois polinômios de P^3(R). Se o grau de p é 2 e o grau de q é 3 então podemos afirmar que p e q são LI.

Passo 1

O enunciado está no contexto de espaços vetoriais de polinômios P^3(R) e pede para verificar se dois polinômios p e q com deg p=2 e deg q=3 são linearmente independentes. Vamos usar a definição de independência linear: p e q são LI se da combinação
alpha,p + beta,q = 0
seguem-se alpha=0 e beta=0.

Passo 2

Suponha que exista combinação linear nula
alpha,p + beta,q = 0
Analisamos dois casos:
  • Se beta=0, a equação vira alpha,p=0. Como p é um polinômio não-nulo ( deg p=2), só pode acontecer alpha=0.
  • Se betaneq0, podemos escrever
q = -alphabeta,p,
ou seja, q seria múltiplo escalar de p.

Passo 3

Contudo, se q fosse múltiplo de p teríamos deg q = deg p, o que contradiz o fato dado de que deg q=3 e deg p=2. Logo não pode acontecer betaneq0, resta beta=0 e daí alpha=0. Isso prova que a única combinação linear que zera p e q é a trivial.

Resposta

Verdadeiro. Polinômios de graus distintos são sempre linearmente independentes em P^3(R).

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