Verdadeiro ou falso. Justifique a sua resposta.
Sejam p e q dois polinômios de
. Se o grau de p é 2 e o grau de q é 3 então podemos afirmar que p e q são LI.
Sejam p e q dois polinômios de
Passo 1
O enunciado está no contexto de espaços vetoriais de polinômios
e pede para verificar se dois polinômios
e
com
e
são linearmente independentes. Vamos usar a definição de independência linear:
e
são LI se da combinação
seguem-se
e
.
Passo 2
Suponha que exista combinação linear nula
Analisamos dois casos:
- Se
, a equação vira . Como é um polinômio não-nulo ( ), só pode acontecer . - Se
, podemos escrever
ou seja,
seria múltiplo escalar de
.
Passo 3
Contudo, se
fosse múltiplo de
teríamos
, o que contradiz o fato dado de que
e
. Logo não pode acontecer
, resta
e daí
. Isso prova que a única combinação linear que zera
e
é a trivial.
Resposta
Verdadeiro. Polinômios de graus distintos são sempre linearmente independentes em
.