Verdadeiro ou falso. Justifique a sua resposta.
Considere o espaço
, e considere o conjunto B constituído apenas pelo polinômio nulo. Então B é LD.
Considere o espaço
Passo 1
O enunciado está no espaço vetorial
(polinômios de grau até 5) e o conjunto em questão é
, ou seja, contém apenas o polinômio nulo. A pergunta é se
é linearmente dependente (LD).
Passo 2
Lembrando a definição: um conjunto de vetores é chamado de linearmente independente (LI) se toda combinação linear que resulta no vetor zero é necessariamente trivial, isto é,
implica
.
Se existir alguma combinação não trivial (algum coeficiente não nulo) que produza o vetor zero, o conjunto é linearmente dependente.
Se existir alguma combinação não trivial (algum coeficiente não nulo) que produza o vetor zero, o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
No nosso caso
tem um único vetor, que é o vetor zero. Logo podemos escolher o escalar
(por exemplo
) e fazer
onde claramente
. Isso mostra que já existe uma combinação não trivial que dá o vetor zero.
Passo 4
Como encontramos uma combinação não trivial que zera o polinômio, concluímos que
não é linearmente independente, logo é linearmente dependente.
Resposta
Verdadeiro.