Verdadeiro ou falso. Justifique a sua resposta.
Considere o espaço P^5(R), e considere o conjunto B constituído apenas pelo polinômio nulo. Então B é LD.

Passo 1

O enunciado está no espaço vetorial P^5(R) (polinômios de grau até 5) e o conjunto em questão é B=0, ou seja, contém apenas o polinômio nulo. A pergunta é se B é linearmente dependente (LD).

Passo 2

Lembrando a definição: um conjunto de vetores é chamado de linearmente independente (LI) se toda combinação linear que resulta no vetor zero é necessariamente trivial, isto é,
a1 v1 + cdots + an vn = 0
implica a1 = cdots = an = 0.
Se existir alguma combinação não trivial (algum coeficiente não nulo) que produza o vetor zero, o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

No nosso caso B tem um único vetor, que é o vetor zero. Logo podemos escolher o escalar aneq 0 (por exemplo a=1) e fazer
acdot 0 = 0,
onde claramente aneq 0. Isso mostra que já existe uma combinação não trivial que dá o vetor zero.

Passo 4

Como encontramos uma combinação não trivial que zera o polinômio, concluímos que B não é linearmente independente, logo é linearmente dependente.

Resposta

Verdadeiro.

Exercícios relacionados