Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
(1+t^2) y^prime prime+2 t y^prime+y=0
Escolha uma opção:
ct^2
c e^t^2
c t^2 e^t
c e^tt
Nenhuma das demais alternativas
c1+t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada:
(1+t^2) y^prime prime+2 t y^prime+y=0
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e como calcular o Wronskiano dessas soluções. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma geral:
y'' + P(t) y' + Q(t) y = 0
Comparando com a nossa equação, temos que dividir tudo por (1 + t^2) para deixar na forma padrão. Assim:
y'' + 2t1 + t^2 y' + 11 + t^2 y = 0
Aqui, identificamos P(t) = 2t1 + t^2 e Q(t) = 11 + t^2.

Passo 3

Agora, o Wronskiano W(t) de duas soluções dessa equação satisfaz uma equação diferencial própria. Essa equação é dada por:
W'(t) + P(t) W(t) = 0
Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar W(t).

Passo 4

Vamos resolver a equação do Wronskiano:
W'(t) + 2t1 + t^2 W(t) = 0
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos resolvê-la usando o método do fator integrante.

Passo 5

O fator integrante mu(t) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral 2t1 + t^2 dt
Vamos calcular essa integral:
integral 2t1 + t^2 dt

Passo 6

A integral integral 2t1 + t^2 dt é uma integral padrão. Fazendo a substituição u = 1 + t^2, então du = 2t dt. Assim, a integral fica:
integral duu = ln|u| + C = ln(1 + t^2) + C

Passo 7

Portanto, o fator integrante é:
mu(t) = e^ln(1 + t^2) = 1 + t^2
Agora, multiplicamos a equação do Wronskiano pelo fator integrante:
(1 + t^2) W'(t) + 2t W(t) = 0 times (1 + t^2) Rightarrow ddt[(1 + t^2) W(t)] = 0

Passo 8

Integrando ambos os lados:
(1 + t^2) W(t) = C
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Isolando W(t):
W(t) = C1 + t^2

Resposta

A forma do Wronskiano é $ \dfrac{c}{1 + t^{2}} $.

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