Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e como calcular o Wronskiano dessas soluções. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma geral:
Comparando com a nossa equação, temos que dividir tudo por
para deixar na forma padrão. Assim:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, o Wronskiano
de duas soluções dessa equação satisfaz uma equação diferencial própria. Essa equação é dada por:
Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar
.
Passo 4
Vamos resolver a equação do Wronskiano:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos resolvê-la usando o método do fator integrante.
Passo 5
O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Passo 6
A integral
é uma integral padrão. Fazendo a substituição
, então
. Assim, a integral fica:
Passo 7
Portanto, o fator integrante é:
Agora, multiplicamos a equação do Wronskiano pelo fator integrante:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Isolando
:
Resposta
A forma do Wronskiano é $ \dfrac{c}{1 + t^{2}} $.