(b) Usando séries, calcule a seguinte integral definida:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral definida de
de 0 até
. Para isso, vamos usar séries, especificamente a série de Taylor da função cosseno. Isso vai ajudar a simplificar a integral e encontrar a solução passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a série de Taylor para
em torno de 0:
Essa série nos permite expressar o cosseno como uma soma infinita de potências de
.
Passo 3
Agora, vamos substituir essa série na expressão
:
Passo 4
Dividindo essa expressão por
, temos:
Isso simplifica a função que vamos integrar.
Passo 5
Agora, vamos integrar termo a termo de 0 até
:
Isso nos dá uma série infinita de integrais mais simples.
Passo 6
Integrando cada termo, temos:
Calculando cada integral:
Passo 7
Podemos então escrever a solução da integral como uma série:
Isso representa a solução em termos de uma série de potências.
Resposta
A integral definida é igual a: