(b) Usando séries, calcule a seguinte integral definida:
integral0^x 1-cos tt^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral definida de de 0 até . Para isso, vamos usar séries, especificamente a série de Taylor da função cosseno. Isso vai ajudar a simplificar a integral e encontrar a solução passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a série de Taylor para cos t = 1 - t^22! + t^44! - t^66! + cdots em torno de 0:
Essa série nos permite expressar o cosseno como uma soma infinita de potências de .

Passo 3

Agora, vamos substituir essa série na expressão 1 - cos t = 1 - (1 - t^22! + t^44! - t^66! + cdots ) = t^22! - t^44! + t^66! - cdots :

Passo 4

Dividindo essa expressão por 1 - cos tt^2 = t^22! t^2 - t^44! t^2 + t^66! t^2 - cdots = 12! - t^24! + t^46! - cdots , temos:
Isso simplifica a função que vamos integrar.

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo de 0 até integral0^x 1 - cos tt^2 dt = integral0^x ( 12! - t^24! + t^46! - cdots ) dt :
Isso nos dá uma série infinita de integrais mais simples.

Passo 6

Integrando cada termo, temos:
12! integral0^x dt - 14! integral0^x t^2 dt + 16! integral0^x t^4 dt - cdots
Calculando cada integral:
x2! - x^33 cdot 4! + x^55 cdot 6! - cdots

Passo 7

Podemos então escrever a solução da integral como uma série:
integral0^x 1 - cos tt^2 dt = x2 - x^372 + x^52400 - cdots
Isso representa a solução em termos de uma série de potências.

Resposta

A integral definida é igual a:
integral0^x 1 - cos tt^2 dt = x2 - x^372 + x^52400 - cdots

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