Sabendo que f(x) = x + 1 para -1 < x < 0, f(x) = x para 0 < x < 1 e f(x + 2) = f(x) para x em R, encontre f(x) para:
© n < x < n + 1, n pertence a Z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre funções periódicas! A gente tem uma função definida de maneira diferente em certos intervalos e com uma periodicidade de 2 unidades. Precisamos descobrir como expressar para qualquer intervalo da forma , onde é um número inteiro. Para isso, vamos usar conceitos de periodicidade e funções por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a periodicidade . Isso quer dizer que a função se repete a cada 2 unidades no eixo . Assim, se conhecemos o comportamento de em um intervalo, podemos estender esse comportamento para outros intervalos usando essa periodicidade.

Passo 3

Agora, observamos as definições da função:
  • Para ,
  • Para ,
Sabemos que a função se repete a cada 2 unidades, então para qualquer inteiro , o comportamento de no intervalo vai depender de onde esse intervalo se encaixa na periodicidade.

Passo 4

Vamos considerar dois casos para : par e ímpar.
  • Caso 1: é par
Quando é par, o intervalo se alinha com o intervalo original . Então, nessa faixa, a função se comporta como .
  • Caso 2: é ímpar
Quando é ímpar, o intervalo se alinha com o intervalo original . Então, nessa faixa, a função se comporta como .

Passo 5

Para generalizar, podemos usar o valor de para determinar qual caso se aplica. Podemos expressar isso usando o termo , que alterna entre 1 e -1 conforme é par ou ímpar.
Então, a função para fica:
Aqui, quando é par, , então . Quando é ímpar, , então .

Resposta

Para todo inteiro , quando , a função é dada por:

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