Sabendo que
para
para
e
para
, encontre
para:
©
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre funções periódicas! A gente tem uma função
definida de maneira diferente em certos intervalos e com uma periodicidade de 2 unidades. Precisamos descobrir como expressar
para qualquer intervalo da forma
, onde
é um número inteiro. Para isso, vamos usar conceitos de periodicidade e funções por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a periodicidade
. Isso quer dizer que a função se repete a cada 2 unidades no eixo
. Assim, se conhecemos o comportamento de
em um intervalo, podemos estender esse comportamento para outros intervalos usando essa periodicidade.
Passo 3
Agora, observamos as definições da função:
- Para
, - Para
,
Sabemos que a função se repete a cada 2 unidades, então para qualquer inteiro
, o comportamento de
no intervalo
vai depender de onde esse intervalo se encaixa na periodicidade.
Passo 4
Vamos considerar dois casos para
: par e ímpar.
- Caso 1:
é par
Quando
é par, o intervalo
se alinha com o intervalo original
. Então, nessa faixa, a função se comporta como
.
- Caso 2:
é ímpar
Quando
é ímpar, o intervalo
se alinha com o intervalo original
. Então, nessa faixa, a função se comporta como
.
Passo 5
Para generalizar, podemos usar o valor de
para determinar qual caso se aplica. Podemos expressar isso usando o termo
, que alterna entre 1 e -1 conforme
é par ou ímpar.
Então, a função
para
fica:
Aqui, quando
é par,
, então
. Quando
é ímpar,
, então
.
Resposta
Para todo inteiro
, quando
, a função é dada por: