Encontre o raio R e o intervalo I de convergência da série.
(b) sumn=1^+infty(-1)^n (x-1)^nn^2 5^n;

Passo 1

Então, a gente tem aqui uma série infinita:
sumn=1^+infty (-1)^n (x-1)^nn^2 5^n
O nosso objetivo é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o Teste da Razão que nos ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que diz que para a série L = limn to infty | an+1an | , se o limite:
an = (-1)^n (x-1)^nn^2 5^n
existe, então:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos identificar o termo geral :

Passo 3

Agora, vamos calcular | an+1an | = | (-1)^n+1 (x-1)^n+1(n+1)^2 5^n+1(-1)^n (x-1)^nn^2 5^n | :
= | (x-1)^n+1(n+1)^2 5^n+1 cdot n^2 5^n(x-1)^n |
Simplificando os sinais e os termos semelhantes:
= | (x-1) cdot n^2(n+1)^2 cdot 5 |
= |x-1| cdot n^2(n+1)^2 cdot 5

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty |x-1| cdot n^2(n+1)^2 cdot 5 tende ao infinito:
= |x-1|5 cdot limn to infty ( nn+1 )^2
Simplificando o limite:
limn to infty nn+1 = 1 então limn to infty ( nn+1 )^2 = 1
Sabemos que:
L = |x-1|5 ã
Portanto:

Passo 5

Para a série convergir, precisamos que |x-1|5 < 1 :
|x-1| < 5
Multiplicando ambos os lados por 5:
Isso nos dá o raio de convergência .

Passo 6

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência -5 < x - 1 < 5 . A inequação -4 < x < 6 se transforma em:
Somando 1 em todas as partes:
Então, o intervalo de convergência é .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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