Prove, a partir da definição (usando o item anterior), que lim x +infty(-4 x^3)=-infty.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar, usando a definição de limite, que quando tende a , a função tende a . Para isso, vamos precisar conhecer a definição formal de limite no infinito.

Passo 2

A definição de significa que, para qualquer número real negativo , existe um número real tal que, para todo , a função é menor que . Em outras palavras, podemos tornar tão negativo quanto quisermos escolhendo grande o suficiente.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função . Queremos mostrar que, para qualquer , podemos encontrar um tal que, se , então .

Passo 4

Começamos resolvendo a desigualdade x^3 > M-4 para encontrar . Primeiro, dividimos ambos os lados por . Lembre-se que, ao dividir por um número negativo, a desigualdade se inverte:

Passo 5

Agora, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados para resolver para x > raiz[3]M-4 . A raiz cúbica é uma função crescente, então a desigualdade mantém a direção:

Passo 6

Portanto, podemos escolher . Assim, para todo , a desigualdade será verdadeira, conforme a definição de limite.

Resposta

Assim, provamos que .

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