Prove, a partir da definição (usando o item anterior), que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar, usando a definição de limite, que quando
tende a
, a função
tende a
. Para isso, vamos precisar conhecer a definição formal de limite no infinito.
Passo 2
A definição de
significa que, para qualquer número real negativo
, existe um número real
tal que, para todo
, a função
é menor que
. Em outras palavras, podemos tornar
tão negativo quanto quisermos escolhendo
grande o suficiente.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à nossa função
. Queremos mostrar que, para qualquer
, podemos encontrar um
tal que, se
, então
.
Passo 4
Começamos resolvendo a desigualdade
para encontrar
. Primeiro, dividimos ambos os lados por
. Lembre-se que, ao dividir por um número negativo, a desigualdade se inverte:
Passo 5
Agora, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados para resolver para
. A raiz cúbica é uma função crescente, então a desigualdade mantém a direção:
Passo 6
Portanto, podemos escolher
. Assim, para todo
, a desigualdade
será verdadeira, conforme a definição de limite.
Resposta
Assim, provamos que
.