(b) Utitizando o resultado do item anterior, calcule:
lim x 1 raizx+raizraizx+raizraizraizx+raizraizraizraizx-4x-1

Passo 1

O enunciado pede
limxto1raizx+raizraizx+raizraizraizx+raizraizraizraizx-4x-1
que tem a forma
limxto1f(x)-f(1)x-1,
ou seja, o limite é justamente f'(1). O conteúdo necessário aqui é a derivada de funções do tipo x^a (regra de potência).

Passo 2

Definimos
f(x)=raizx+ raizraizx+ raizraizraizx+ raizraizraizraizx = x^tfrac12+x^tfrac14+x^tfrac18+x^tfrac116
Note que
f(1)=1+1+1+1=4,
logo o limite dado vale f'(1).

Passo 3

Aplicamos a regra de potência ddxx^a=a,x^a-1 a cada termo de f(x):
f'(x) =tfrac12,x^-tfrac12 +tfrac14,x^-tfrac34 +tfrac18,x^-tfrac78 +tfrac116,x^-tfrac1516

Passo 4

Agora avaliamos em x=1. Como 1 elevado a qualquer potência é 1, cada termo fica seu coeficiente:
f'(1) =tfrac12+tfrac14+tfrac18+tfrac116

Passo 5

Somando as frações com denominador 16:
tfrac12=tfrac816, tfrac14=tfrac416, tfrac18=tfrac216, tfrac116=tfrac116,
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f'(1)=8+4+2+116=1516

Resposta

1516

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