Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
(g) ( ) Se sumn=1^+infty an diverge e an neq 0, forall n >= 1, então sumn=1^+infty 1an converge;

Passo 1

O enunciado afirma que, se a série sumn=1^inftyan diverge e anneq0 para todo n, então a série sumn=1^infty1an converge. O conteúdo envolvido é o comportamento de séries e a relação entre uma série e a série formada pelos recíprocos dos seus termos. Para decidir se isso é verdadeiro ou falso, basta encontrar um contra-exemplo que viole essa afirmação.

Passo 2

Escolhemos an = 1n.
  1. A série original é
sumn=1^inftyan ;=;sumn=1^infty1n,
que é a famosa série harmônica, e sabe-se que ela d diverge.
2. Agora consideramos a série dos recíprocos:
sumn=1^infty1an ;=;sumn=1^infty1tfrac1n ;=;sumn=1^inftyn
Mas a série sum n também d diverge (os termos não tendem a zero, por exemplo). Portanto, neste contra-exemplo, tanto sum an quanto sum1/an divergem, contrariando a afirmação de que sum1/an sempre converge.

Resposta

(g) F
Contra-exemplo: an=1/n faz sum an divergir e sum1/an também divergir.

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