Classifique as afirmações abaixo como verdadeira
ou falsa
dando uma demonstração ou um contra-exemplo.
(g) ( ) Se
diverge e
, então
converge;
(g) ( ) Se
Passo 1
O enunciado afirma que, se a série
diverge e
para todo
, então a série
converge. O conteúdo envolvido é o comportamento de séries e a relação entre uma série e a série formada pelos recíprocos dos seus termos. Para decidir se isso é verdadeiro ou falso, basta encontrar um contra-exemplo que viole essa afirmação.
Passo 2
Escolhemos
.
- A série original é
que é a famosa série harmônica, e sabe-se que ela d diverge.
2. Agora consideramos a série dos recíprocos:
2. Agora consideramos a série dos recíprocos:
Mas a série
também d diverge (os termos não tendem a zero, por exemplo). Portanto, neste contra-exemplo, tanto
quanto
divergem, contrariando a afirmação de que
sempre converge.
Resposta
(g) F
Contra-exemplo: faz
divergir e
também divergir.
Contra-exemplo: