Encontre os valores de a, b in R tais que:
lim x 1 x^3+3 x^2+a x-6x^2-(1+b) x+b=114

Passo 1

O enunciado pede a,binR tais que
limxto1x^3+3x^2+a x-6x^2-(1+b)x+b=114
Para a existência de um limite finito quando o denominador se anula em x=1, precisamos forçar também o numerador a anular em x=1 (forma 0/0), e em seguida cancelar o fator comum.

Passo 2

Calcule o numerador em x=1:
1^3+3cdot1^2+acdot1-6 = 1+3+a-6 = a-2
Para anular, impomos
a-2=0Longrightarrow a=2

Passo 3

Com a=2, o numerador fica
x^3+3x^2+2x-6,
e como ele zera em x=1, divide-se por (x-1). A divisão polinomial dá
x^3+3x^2+2x-6 = (x-1),(x^2+4x+6)
O denominador é
x^2-(1+b)x+b
Como em x=1 ele também se anula para todo b, ele tem fator (x-1) e a outra raiz é x=b, logo
x^2-(1+b)x+b = (x-1)(x-b)

Passo 4

Após cancelar (x-1), a expressão cujo limite devemos avaliar é
x^2+4x+6,x-b,
Tomando xto1 e igualando a tfrac114, temos
1^2+4cdot1+61-b = 111-b = 114 Longrightarrow 1-b = 4 Longrightarrow b = -3

Resposta

a=2,;b=-3.

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