(a) Use a mudança de variáveis x=y^n para mostrar que:
lim x 1 raiz[n]x-1x-1=1n

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto1raiz[n]x-1x-1
usando a mudança de variáveis x=y^n. O conteúdo é cálculo de limite usando substituição e fatoração de diferença de potências.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = y^n
Como xto1 e n é fixo, segue que yto1. Além disso,
raiz[n]x = y

Passo 3

Reescrevendo o quociente em função de y, temos
raiz[n]x-1x-1 = y-1y^n-1
Portanto o limite original vira
limyto1y-1y^n-1

Passo 4

Usamos a fatoração da diferença de potências:
y^n - 1 = (y-1)sumk=0^n-1y^k
Substituindo na fração e cancelando y-1,
y-1y^n-1 = y-1(y-1)sumk=0^n-1y^k = 1sumk=0^n-1y^k
Agora fazemos yto1 nesse resultado:
sumk=0^n-1y^k|y=1 = sumk=0^n-11 = n
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limyto11sumk=0^n-1y^k = 1n

Resposta

1n

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