f) \frac{2 x}{4-3 x}=2

Passo 1

O enunciado dá a equação racional
\frac{2x}{4-3x}=2.
O que é pedido: encontrar o(s) valor(es) de x que satisfazem essa igualdade. Informação importante a listar: o denominador não pode ser zero, portanto devemos ter
4-3x \neq 0 \quad\Rightarrow\quad x \neq \frac{4}{3}.
Não vamos resolver ainda; apenas identificamos o problema e a restrição.

Passo 2

Estratégia básica e justificativa: ao resolver uma equação que tem uma fração igual a um número, podemos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador, desde que ele não seja zero — por isso checamos a restrição no Passo 1. Multiplicar pelo denominador elimina a fração e nos deixa com uma equação mais simples (neste caso, linear).
Aplicando isso aqui, multiplicamos ambos os lados por 4-3x. Escrevendo isso:
\frac{2x}{4-3x}\cdot(4-3x) = 2\cdot(4-3x).

Passo 3

Simplificando o lado esquerdo: a fator 4-3x cancela com o denominador, ficando somente 2x. Então obtemos a equação linear
2x = 2(4-3x).
Agora desenvolvemos o lado direito usando a propriedade distributiva (ou seja, multiplicar 2 por cada termo dentro dos parênteses):
2x = 8 - 6x.

Passo 4

Resolver a equação linear obtida. Passo a passo:
  1. Somamos 6x aos dois lados para colocar os termos em x juntos:
2x + 6x = 8.
  1. Somando os coeficientes de x:
8x = 8.
  1. Dividimos ambos os lados por 8 para isolar x:
x = \frac{8}{8} = 1.

Passo 5

Verificação e checagem de validade: devemos verificar se a solução encontrada não viola a restrição do denominador x \neq \frac{4}{3}. Como 1 \neq \frac{4}{3}, a solução é admissível.
Também é bom substituir na equação original para conferir:
\frac{2\cdot 1}{4-3\cdot 1} = \frac{2}{4-3} = \frac{2}{1} = 2,
que coincide com o lado direito. Logo a solução está correta.

Resposta

x=1

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