Resolva as equações diferenciais ordinárias de 1ַa ordem.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem dada por
Informações fornecidas:
- A equação relaciona
e sua derivada . - Não foi dada condição inicial; então procuramos a solução geral (com constante arbitrária).
O que se pede: encontrar a família de soluçõesque satisfazem a equação diferencial acima.
Passo 2
Primeiro reorganizo algebricamente a equação para isolarmos o termo com
. Partindo de
coloco o termo com
do mesmo lado:
Isso é uma forma conveniente porque permite separar as variáveis (colocar termos em
de um lado e termos em
do outro).
Passo 3
Escrevo
e separo as variáveis. A partir de
faço as operações elementares: multiplico ambos os lados por
e divido por
(note que
para todo
, então essa divisão é sempre válida). Obtenho a forma separada
Passo 4
Agora integro os dois lados. Escrevo a integral e calculo cada lado:
Para a integral à esquerda, faço a substituição
, então
, ou seja
. Assim
A integral à direita é direta:
Agrupando as constantes de integração (posso juntar
e
numa única constante), obtemos a forma implícita da solução:
Multiplicando por
:
onde
é outra constante arbitrária.
Passo 5
Explico como passar da forma implícita acima para a forma explícita em
, sem escrever aqui o resultado final (veja a seção de resposta): toma-se exponencial de ambos os lados para eliminar o logaritmo, obtendo uma constante positiva multiplicando
; em seguida isola-se
e finalmente toma-se raiz quadrada (com os sinais
) para obter
. Observações importantes sobre domínio e constantes:
- A constante que surge após exponenciar é positiva (é da forma
). - Para que exista
real é preciso que o radicando da raiz seja não negativo; isso impõe restrições sobre a constante arbitrária se for necessário que a solução seja real em todo o domínio. - A solução identicamente
não satisfaz a equação original em todo (substituindo-se obtém-se , só verdade para ), portanto não é solução global.
Passo 6
Verificação rápida: a forma implícita
pode ser diferenciada em ambos os lados para checar a equação original. Derivando:
que simplifica para
que é exatamente a forma que obtivemos no Passo 2 e equivalente à equação original. Logo a integração está correta.