Resolva as equações diferenciais ordinárias de 1ַa ordem. y y^{\prime}-x^{3}=x^{3} y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem dada por
y\,y' - x^{3} = x^{3}y^{2}.
Informações fornecidas:
  • A equação relaciona y e sua derivada y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • Não foi dada condição inicial; então procuramos a solução geral (com constante arbitrária).
    O que se pede: encontrar a família de soluções y(x) que satisfazem a equação diferencial acima.

Passo 2

Primeiro reorganizo algebricamente a equação para isolarmos o termo com y'. Partindo de
y\,y' - x^{3} = x^{3}y^{2},
coloco o termo com x^{3} do mesmo lado:
y\,y' = x^{3} + x^{3}y^{2} = x^{3}(1+y^{2}).
Isso é uma forma conveniente porque permite separar as variáveis (colocar termos em y de um lado e termos em x do outro).

Passo 3

Escrevo y'=\dfrac{dy}{dx} e separo as variáveis. A partir de
y\,\frac{dy}{dx} = x^{3}(1+y^{2})
faço as operações elementares: multiplico ambos os lados por dx e divido por 1+y^{2} (note que 1+y^{2}>0 para todo y, então essa divisão é sempre válida). Obtenho a forma separada
\frac{y}{1+y^{2}}\,dy = x^{3}\,dx.

Passo 4

Agora integro os dois lados. Escrevo a integral e calculo cada lado:
\int \frac{y}{1+y^{2}}\,dy \;=\; \int x^{3}\,dx.
Para a integral à esquerda, faço a substituição u=1+y^{2}, então du=2y\,dy, ou seja y\,dy=\dfrac{1}{2}du. Assim
\int \frac{y}{1+y^{2}}\,dy = \int \frac{1}{2}\frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln(u) + C_{1} = \frac{1}{2}\ln(1+y^{2}) + C_{1}.
A integral à direita é direta:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4} + C_{2}.
Agrupando as constantes de integração (posso juntar C_{2} e C_{1} numa única constante), obtemos a forma implícita da solução:
\frac{1}{2}\ln(1+y^{2}) = \frac{x^{4}}{4} + C.
Multiplicando por 2:
\ln(1+y^{2}) = \frac{x^{4}}{2} + C_{*},
onde C_{*}=2C é outra constante arbitrária.

Passo 5

Explico como passar da forma implícita acima para a forma explícita em y, sem escrever aqui o resultado final (veja a seção de resposta): toma-se exponencial de ambos os lados para eliminar o logaritmo, obtendo uma constante positiva multiplicando e^{x^{4}/2}; em seguida isola-se y^{2} e finalmente toma-se raiz quadrada (com os sinais \pm) para obter y. Observações importantes sobre domínio e constantes:
  • A constante que surge após exponenciar é positiva (é da forma e^{C_{*}}>0).
  • Para que exista y real é preciso que o radicando da raiz seja não negativo; isso impõe restrições sobre a constante arbitrária se for necessário que a solução seja real em todo o domínio.
  • A solução identicamente y\equiv 0 não satisfaz a equação original em todo x (substituindo-se y=0 obtém-se -x^{3}=0, só verdade para x=0), portanto não é solução global.

Passo 6

Verificação rápida: a forma implícita
\ln(1+y^{2}) = \frac{x^{4}}{2} + C_{*}
pode ser diferenciada em ambos os lados para checar a equação original. Derivando:
\frac{2y\,y'}{1+y^{2}} = 2x^{3},
que simplifica para
y\,y' = x^{3}(1+y^{2}),
que é exatamente a forma que obtivemos no Passo 2 e equivalente à equação original. Logo a integração está correta.

Resposta

y=\pm\sqrt{C\,e^{x^{4}/2}-1},\; C>0

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