b) y^prime=sin (x)+y, com y(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou é uma equação diferencial do tipo $ y^{\prime} = \sin(x) + y $ com a condição inicial $ y(0) = 0 $. Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais de Primeira Ordem. Para resolver, vamos usar o Método do Fator Integrante, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão:
y^prime - y = sin(x)
Aqui, identificamos que o coeficiente de $ y $ é $ -1 $. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação para que possamos integrar facilmente.

Passo 3

O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
mu(x)
Onde $ P(x) $ é o coeficiente de $ y $ na equação padrão. No nosso caso, $ P(x) = -1 $, então:
mu(x) = e^integral P(x) , dx

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ e^{-x} $:
e^-x
A esquerda da equação agora é a derivada do produto $ e^{-x} y $. Portanto, podemos escrever:
e^-x y^prime - e^-x y = e^-x sin(x)

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
x
A integral do lado esquerdo simplifica para $ e^{-x} y $. Já a integral do lado direito pode ser resolvida usando a integração por partes ou conhecendo o resultado padrão, que é:
integral ddx(e^-x y) , dx = integral e^-x sin(x) , dx
Então:
e^-x y

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por $ e^{x} $ para resolver para $ y $:
e^x

Passo 7

Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 0 $ para encontrar a constante $ C $:
y(0) = 0
C
0 = -12 (sin(0) + cos(0)) + C e^0
0 = -12 (0 + 1) + C cdot 1

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = -12 (sin(x) + cos(x)) + 12 e^x

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