b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou é uma equação diferencial do tipo $ y^{\prime} = \sin(x) + y $ com a condição inicial $ y(0) = 0 $. Isso faz parte do estudo de Equações Diferenciais de Primeira Ordem. Para resolver, vamos usar o Método do Fator Integrante, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão:
Aqui, identificamos que o coeficiente de $ y $ é $ -1 $. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação para que possamos integrar facilmente.
Passo 3
O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por:
Onde $ P(x) $ é o coeficiente de $ y $ na equação padrão. No nosso caso, $ P(x) = -1 $, então:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ e^{-x} $:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto $ e^{-x} y $. Portanto, podemos escrever:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
A integral do lado esquerdo simplifica para $ e^{-x} y $. Já a integral do lado direito pode ser resolvida usando a integração por partes ou conhecendo o resultado padrão, que é:
Então:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por $ e^{x} $ para resolver para $ y $:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 0 $ para encontrar a constante $ C $:
Resposta
A solução da equação diferencial é: