c) y^prime+2 y=0, com y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma equação diferencial do tipo $ y’ + 2y = 0 $ com a condição inicial $ y(0) = 1 $. Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações lineares de primeira ordem usando o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a equação está na forma padrão $ y’ + P(x)y = Q(x) $. No nosso caso, $ P(x) = 2 $ e $ Q(x) = 0 $. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vamos multiplicar em toda a equação para facilitar a solução.

Passo 3

O fator integrante $ \mu(x) $ é dado por $ \mu(x) = e^{\int P(x) dx} $. Como $ P(x) = 2 $, calculamos:
mu(x)

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^2x y' + 2 e^2x y = 0
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ e^{2x} y $. Então, podemos reescrever a equação como:
e^2x y

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
x
Isso nos dá:
integral ddx(e^2x y) , dx = integral 0 , dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Para encontrar $ y $, isolamos ela na equação:
y

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar o valor de $ C $:
y(0) = 1

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = e^-2x

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