b)
3. Mostre que cada uma das equações a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável
. Expresse
e
em termos de
e
.
a)
3. Mostre que cada uma das equações a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável
a)
Passo 1
Enunciados que temos que tratar (vou listar com clareza o que cada um pede e as informações que dão):
-
Primeiro enunciado (marcado pelo usuário como b):O que pediria normalmente: mostrar que essa equação define implicitamente ao menos uma função diferenciável
em torno de algum ponto satisfazendo a equação e obter em termos de e . -
Segundo enunciado (marcado como 3.a):O que pediria: mostrar que essa equação define implicitamente ao menos uma função diferenciável
em torno de algum ponto satisfazendo a equação e expressar e em termos de .
Informações relevantes que o enunciado dá:
- Duas equações implícitas (uma envolvendo
e outra envolvendo ). - Não foi dado ponto explícito, então devemos escolher um ponto óbvio que satisfaça cada equação para aplicar o argumento local (ponto em que a derivada parcial em relação à variável que queremos isolar seja não nula).
Passo 2
Ferramenta que vamos usar (explicada passo a passo — tipo “receita” para a prova):
-
Ideia geral (intuição): Para uma equação
queremos ver se é possível escrever como função de perto de algum ponto que satisfaça a equação. Se a sensibilidade de em relação a for não nula nesse ponto, então pequenas mudanças em produzem uma única e diferenciável que mantém . Matematicamente isso aparece como a condição . -
Fórmula prática para a prova (derivação rápida e didática):
Consideree suponha que exista uma função satisfeita. Diferenciando ambos os lados em relação a (regra da cadeia): ondee . Daí Esse é o resultado prático: calculee e use essa fórmula — mas só vale se no ponto considerado. -
Para a equação com
: se tivermos e existe , diferenciando implicitamente obtemos as fórmulas ondesão as derivadas parciais de . Essas fórmulas vêm da regra da cadeia para funções de várias variáveis: e análogo para. -
Dica prática na prova: escolha um ponto fácil
ou que satisfaça a equação; calcule a derivada parcial em relação à variável que será isolada ( ou ); se ela for não nula, use as fórmulas acima.
Passo 3
Aplicação ao enunciado b):
- Defino a função auxiliar
Qualquer ponto
que satisfaça
pertence à curva dada pela equação.
- Procuro um ponto óbvio que satisfaça a equação. Tomando
temos
Assim, escolher
faz com que
. Observe que
.
- Calculo a derivada parcial de
em relação a :
No ponto
isso vale
porque
. Como
, pela regra/teorema implícito existe uma função diferenciável
definida em uma vizinhança de
com
que satisfaz a equação.
Passo 4
Continuando b): obtenção de
em termos de
e
.
- Calculo
:
- Usando a fórmula obtida no Passo 2:
- Podemos simplificar um fator
se quisermos:
Observação: essa expressão vale em qualquer ponto
da curva onde o denominador
(ou, equivalentemente,
) não seja zero. No ponto escolhido
essa derivada vale
(pois o numerador tem fator
e
).
Passo 5
Aplicação ao enunciado 3.a):
- Defino a função auxiliar
- Procuro um ponto simples que satisfaça
. Tomando e obtemos
logo
satisfaz
. Assim o ponto
é uma escolha natural.
- Calculo a derivada parcial de
em relação a :
No ponto
temos
Como
, pela condição do teorema implícito existe uma função diferenciável
definida numa vizinhança de
com
que satisfaz a equação.
Passo 6
Continuando 3.a): obtenção de
e
.
- Calculo as demais derivadas parciais de
:
- Usando as fórmulas do Passo 2 para
e :
- Observação prática: essas fórmulas dão as derivadas parciais de
em termos de . Se for preciso o valor numérico em (onde ), basta substituir e obtemos e , porque em os numeradores e denominador reduzem a .
Resposta
b)
a)