b) y^{4}+x^{2} y^{2}+x^{4}=3
3. Mostre que cada uma das equações a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável z=z(x, y). Expresse \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} em termos de x, y e z.
a) e^{x+y+z}+x y z=1

Passo 1

Enunciados que temos que tratar (vou listar com clareza o que cada um pede e as informações que dão):
  • Primeiro enunciado (marcado pelo usuário como b):
    y^{4}+x^{2}y^{2}+x^{4}=3.
    O que pediria normalmente: mostrar que essa equação define implicitamente ao menos uma função diferenciável y=y(x) em torno de algum ponto satisfazendo a equação e obter \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.
  • Segundo enunciado (marcado como 3.a):
    e^{x+y+z}+x y z=1.
    O que pediria: mostrar que essa equação define implicitamente ao menos uma função diferenciável z=z(x,y) em torno de algum ponto satisfazendo a equação e expressar \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} em termos de x,y,z.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Duas equações implícitas (uma envolvendo x,y e outra envolvendo x,y,z).
  • Não foi dado ponto explícito, então devemos escolher um ponto óbvio que satisfaça cada equação para aplicar o argumento local (ponto em que a derivada parcial em relação à variável que queremos isolar seja não nula).

Passo 2

Ferramenta que vamos usar (explicada passo a passo — tipo “receita” para a prova):
  • Ideia geral (intuição): Para uma equação \;F(x,y)=0\; queremos ver se é possível escrever y como função de x perto de algum ponto (x_0,y_0) que satisfaça a equação. Se a sensibilidade de F em relação a y for não nula nesse ponto, então pequenas mudanças em x produzem uma y única e diferenciável que mantém F=0. Matematicamente isso aparece como a condição \partial F/\partial y\neq0.
  • Fórmula prática para a prova (derivação rápida e didática):
    Considere \;F(x,y)=0\; e suponha que exista uma função y=y(x) satisfeita. Diferenciando ambos os lados em relação a x (regra da cadeia):
    \frac{d}{dx}F(x,y(x))=F_x(x,y(x)) + F_y(x,y(x))\cdot y'(x)=0,
    onde \;F_x=\dfrac{\partial F}{\partial x}\; e \;F_y=\dfrac{\partial F}{\partial y}\;. Daí
    y'(x)=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}.
    Esse é o resultado prático: calcule F_x e F_y e use essa fórmula — mas só vale se F_y\neq0 no ponto considerado.
  • Para a equação com z: se tivermos \;G(x,y,z)=0\; e existe z=z(x,y), diferenciando implicitamente obtemos as fórmulas
    \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{G_x(x,y,z)}{G_z(x,y,z)} \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{G_y(x,y,z)}{G_z(x,y,z)},
    onde G_x,G_y,G_z são as derivadas parciais de G. Essas fórmulas vêm da regra da cadeia para funções de várias variáveis:
    0=\frac{\partial}{\partial x}G(x,y,z(x,y))=G_x+G_z\cdot z_x,
    e análogo para y.
  • Dica prática na prova: escolha um ponto fácil (x_0,y_0) ou (x_0,y_0,z_0) que satisfaça a equação; calcule a derivada parcial em relação à variável que será isolada ( F_y ou G_z); se ela for não nula, use as fórmulas acima.

Passo 3

Aplicação ao enunciado b): \;y^{4}+x^{2}y^{2}+x^{4}=3.
  1. Defino a função auxiliar
F(x,y)=y^{4}+x^{2}y^{2}+x^{4}-3.
Qualquer ponto (x,y) que satisfaça F(x,y)=0 pertence à curva dada pela equação.
  1. Procuro um ponto óbvio que satisfaça a equação. Tomando x=0 temos
F(0,y)=y^{4}-3.
Assim, escolher
y_0=\sqrt[4]{3}
faz com que F(0,y_0)=0. Observe que \;y_0\neq0.
  1. Calculo a derivada parcial de F em relação a y:
F_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{4}+x^{2}y^{2}+x^{4}-3\bigr)=4y^{3}+2x^{2}y.
No ponto (0,y_0) isso vale
F_y(0,y_0)=4y_0^{3}+2\cdot0^{2}\cdot y_0=4y_0^{3}\neq0,
porque y_0=\sqrt[4]{3}>0. Como F_y(0,y_0)\neq0, pela regra/teorema implícito existe uma função diferenciável y=y(x) definida em uma vizinhança de x=0 com y(0)=y_0 que satisfaz a equação.

Passo 4

Continuando b): obtenção de \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.
  1. Calculo F_x:
F_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{4}+x^{2}y^{2}+x^{4}-3\bigr)=2x y^{2}+4x^{3}.
  1. Usando a fórmula obtida no Passo 2:
\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}=-\frac{2x y^{2}+4x^{3}}{4y^{3}+2x^{2}y}.
  1. Podemos simplificar um fator 2 se quisermos:
\frac{dy}{dx}=-\frac{x\,(y^{2}+2x^{2})}{y\,(2y^{2}+x^{2})}.
Observação: essa expressão vale em qualquer ponto (x,y) da curva onde o denominador 4y^{3}+2x^{2}y (ou, equivalentemente, y(2y^{2}+x^{2})) não seja zero. No ponto escolhido (0,y_0) essa derivada vale 0 (pois o numerador tem fator x e x=0).

Passo 5

Aplicação ao enunciado 3.a): \;e^{x+y+z}+x y z=1.
  1. Defino a função auxiliar
G(x,y,z)=e^{x+y+z}+x y z -1.
  1. Procuro um ponto simples que satisfaça G(x,y,z)=0. Tomando x=0 e y=0 obtemos
G(0,0,z)=e^{z}-1,
logo z_0=0 satisfaz G(0,0,0)=0. Assim o ponto (0,0,0) é uma escolha natural.
  1. Calculo a derivada parcial de G em relação a z:
G_z(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(e^{x+y+z}+x y z -1\bigr)=e^{x+y+z}+x y.
No ponto (0,0,0) temos
G_z(0,0,0)=e^{0}+0=1\neq0.
Como G_z(0,0,0)\neq0, pela condição do teorema implícito existe uma função diferenciável z=z(x,y) definida numa vizinhança de (0,0) com z(0,0)=0 que satisfaz a equação.

Passo 6

Continuando 3.a): obtenção de \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}.
  1. Calculo as demais derivadas parciais de G:
G_x(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x+y+z}+x y z -1\bigr)=e^{x+y+z}+y z,
G_y(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x+y+z}+x y z -1\bigr)=e^{x+y+z}+x z.
  1. Usando as fórmulas do Passo 2 para z_x e z_y:
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{G_x(x,y,z)}{G_z(x,y,z)}=-\frac{e^{x+y+z}+y z}{e^{x+y+z}+x y},
\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{G_y(x,y,z)}{G_z(x,y,z)}=-\frac{e^{x+y+z}+x z}{e^{x+y+z}+x y}.
  1. Observação prática: essas fórmulas dão as derivadas parciais de z em termos de x,y,z. Se for preciso o valor numérico em (0,0) (onde z(0,0)=0), basta substituir (x,y,z)=(0,0,0) e obtemos \;z_x(0,0)=-1 e \;z_y(0,0)=-1, porque em (0,0,0) os numeradores e denominador reduzem a 1.

Resposta

b) \displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{2x y^{2}+4x^{3}}{4y^{3}+2x^{2}y}=-\frac{x\,(y^{2}+2x^{2})}{y\,(2y^{2}+x^{2})}.
a) \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{e^{x+y+z}+y z}{e^{x+y+z}+x y}.
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{e^{x+y+z}+x z}{e^{x+y+z}+x y}.

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